Мы знаем, что такое натуральные числа: 
. Если к ним добавить 
и отрицательные числа:
, то получим множество целых чисел: 
.
Приведем несколько примеров связанных с целыми числами.
Пример 1 Доказать, что для любого целого числа 
число 
делится на 
.
Разложим число 
на множители:
.
Мы видим, что число представляет собой произведение пяти подряд идущих целых чисел. Одно из них должно делиться на 
. Из этих подряд идущих целых чисел, по крайней мере, два должны быть четными, а одно из этих четных чисел должно делиться на 
. Итак, число должно делиться на 
.
Наконец, из трех подряд идущих целых чисел одно должно делиться на 
. Итого, получаем, что число должно делиться на 
Далее нам понадобится следующее утверждение: при возведении в степень числа 
остатки от деления 
на число начинают повторяться (не обязательно сначала).
Это значит, что если 
и 
при делении на дают остаток 
, то 
при делении на тоже даст остаток .
Пример 2 Найти остаток от деления числа 
на 
.
Для удобства составим следующую таблицу остатков при делении на .
| Степень |
2 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
| Остаток |
2 |
4 |
8 |
4 |
8 |
4 |
8 |
Согласно этой таблице 
при делении на дает остаток .gif)
, а та 
при делении на дает остаток .
Пример 3 Найти остаток от деления числа 
на 
.
Составим таблицу:
| Степень |
3 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
| Остаток |
3 |
9 |
27 |
36 |
18 |
9 |
27 |
Таким образом, мы видим что 
при делении на дает остаток 
; 
при делении на .gif)
дает остаток 
; 
при делении на дает остаток .gif)
; 
при делении на дает остаток 
. У нас 
, тем самым при делении на дает остаток .
Пример 4 Доказать, что если сумма квадратов двух целых чисел 
делится на 
, то каждое из этих чисел делится на .
Какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на ? Само число может быть записано в виде: 
, где 
может равняться 
. При возведении в квадрат, число будет давать такие остатки соответственно: 
. Поэтому если одно из чисел или 
при делении на имеет остаток, то его квадрат при делении на имеет остаток 
, 
или и второго числа подобрать нельзя, чтобы сумма квадратов делилась на . Следовательно, оба числа и должны делиться на .
Пример 5 Доказать, что 
, где - натуральное число, делится на 
.
Для решения задачи преобразуем данную сумму:
Оба множителя в произведении целые, а первый множитель равен:
.
Большой интерес вызывают так называемые диофантовы уравнения, то есть уравнения или системы уравнений, для которых ищутся только целые (или рациональные) решения.
Пример 6 Решить уравнение 
в целых числах.
Общих правил решений диофантовых уравнений нет, однако есть приемы, которые иногда помогают. Преобразуем уравнение:
.
Обозначим 
, тогда уравнение примет вид: 
.
Сделаем еще одно преобразование: обозначим 
:
.
Теперь выражаем исходные неизвестные через: 
и 
.
Подставим эти выражения в исходное уравнение и найдем:
.
Мы получили решение уравнения 
. Но это одно решение. Как найти остальные? Будем искать решения в виде:
, а 
.
Подставляя в исходное уравнение, получим 
. Поскольку найденная нами пара .gif)
удовлетворяет этому уравнению, то общим решением исходного уравнения будет , где и 
произвольные целые числа. Можно показать, что других решений в целых числах нет.
