Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями

Десятичные дроби – важная тема, изучению которой уделяется достаточно много времени. Изучать материал необходимо последовательно, так как с течением времени он будет усложняться, и будут добавляться новые направления изучения, которые будут базироваться на пройденном. Тема не столь сложная, а поэтому ее изучение редко вызывает вопросы или серьезные сложности, решить которые самостоятельно – не получается.

Чтобы обучение не вызывало затруднений надо рассмотреть – определение и правила осуществления записи, так как они будут использоваться по мере всего изучения материала.

Что такое десятичная запись дробных чисел

Десятичный тип записи может использоваться для натуральных и нецелых выражений. Суть заключается в разделении при использовании запятой, которая помогает понять, где заканчивается целая часть. Количество цифр не ограничивается и определяется исключительно условиями задания.

Десятичная запись используется для преобразований дробных выражений в более привычный вид, который используется, и при заполнении бланков экзаменационной работы. В первое части экзамена, где требуется написание краткого ответа, недопустимо применение обыкновенных дробей – допускается только использование десятичной формы записи, которая и будет проверяться, и засчитываться в качестве верного ответа.

Важно: В случае, если после запятой идут нули – от ее написания можно отказаться, так как в результате проведения математических расчетов было получено цельное выражение.

Примеров десятичной записи много – 2,3059 или 2794,18 и пр. Это может быть нецелое число.

Дополнительная информация! Некоторых учебные пособия предполагает прописывание точки в качестве основного знака, далее можно будет встретить выражения иной записи – 577.758 или 48.001 и пр. Этот метод также допустим к использованию, и не считается ошибкой. Встречается в иностранных учебных пособиях, а также в некоторых книгах старого типа. Подойдет метод записи с запятой, так как он имеет большее распространение.

Определение десятичных дробей

На основании расписанной ранее информации можно сформировать определение:

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

Суть записи подобного образца заключается в возможности быстро оценить запись и легче принять информацию при больших объемах. Например, проще понять 25,12, чем пропись «двадцать пять целых двенадцать сотых» или неправильную/смешанную дробь.

Важно: Перевод в десятичную форму допустим только если в знаменателе располагается число, которое делится на 10 без получения остатка, например, 100 или 100000. Если реализовать деление без остатка не получается – проведение перевода допустимо, но конечной формы записи достичь не удастся.

Перевод дробей при прохождении школьной программы рассматривается подробно, а поэтому смысла тратить время на повторное изучение материала – нет. Пора переходить к правилам теоретического обозначения и к изучению разрядов, понятия конечности и пр.

Как правильно читать десятичные дроби

Чтобы ответ не считался ошибочным, обучающийся должен следовать установленному правилу чтения дробей. Если до момента постановки знаки препинания располагается ноль – она также читается при устном ответе как «ноль целых», и лишь после этого называется оставшееся число. Итак, например, в случае записи 0,19, ученику потребуется произвести «ноль целях девятнадцать сотых» (ведь 0,19 соответствует обыкновенная форма записи, в которой в числителе располагается 19, а в знаменателе – 100).

Если целая часть все же присутствует – она называется первой, после этого нецелое выражение. Например, 17,1 – это «семнадцать целых одна десятая» и пр.

Что такое разряды в десятичных дробях

При написании чисел возникает логичный вопрос требований к последовательности расположения и правилам обозначения при устном ответе. Например, если после запятой имеется только одна цифра, например, 0,9 – это десятые доли, если 4 знака (0,1987) – это десятитысячные и т.п. Тут все не сложнее, чем при изучении натуральных чисел, главное понять, что начинается выраженные именно с десятых, после этого ограничений не устанавливается.

Ниже представлена таблица, в которой собраны математические вычисления разряда. Зная их, вероятность проблем при устном ответе и при изучении условий задачи для составления записи – будет минимальной.

Стоит дополнительно рассмотреть несложный школьный пример чтения:

У нас есть десятичная дробь 43,098. У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 9, тысячных – 8. 

В некоторых упражнения требуется осуществить разложение на основании разрядов посредством сложения или простого записывания с пояснениями. Если представленная ранее таблица – понятна человеку, вероятность проблем будет минимальной, а поэтому не переживайте о получении решения в разложениях. Для примера можно посмотреть на аналогичное задание:

Попробуем разложить дробь 56,0455 по разрядам.
У нас получится:
56,0455 =50+6+0,4+0,005+0,0005

Что такое конечные десятичные дроби

Рассматривая тему дробей, человек столкнется с конечными дробями. Это разновидность в школьной программе, которая изучается до перехода к тематикам сложнее. Конечными называются такие выражения, у где имеется конечное количество знаков.

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

Например, к ним относятся 75,0457 и 0, 57326 и пр. Любое может переводиться в смешанную, чтобы удовлетворить задания и получить верную итоговую форму записи. При переводе в смешанную форму необходимо обязательно оставить цельное число, так как иначе получится не смешанный вариант, а неправильный.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Как стало понятно, конечные выражения получили подобное название из-за того, что после запятой располагаются цифры, которые можно будет посчитать. Проведение математических вычислений не вызывает затруднений, чего нельзя сказать о бесконечной форме. В ней после запятой располагается неограниченное количество цифр – их нельзя сосчитать до результата, а для расчетов производится перевод в обычное дробное значение.

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр. 

Получается, что осуществить полную запись – не получится, но это не означает, что дроби не имеют места быть в математике. Они также используются в заданиях, особенность – запись с троеточием, которая выглядит как 543, 33333….

В окончании могут находиться знаки в случайной последовательности и циклы, которые будут повторяться из раза в раз при продолжении деления – они называются периодическими.

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

Например, периодом для 3,3333… будет 3, а для 94, 578336121212… - 12. При этом период необязательно должен повторяться на протяжении всего выражения – иногда это только «хвост», который зацикливается из-за получения определенного итогового делимого.

Для упрощения системы записи было принято решение записывать циклы в виде (…), то есть 3,33333… может быть представлено как 3,(3) и такая запись будет понятна для всех проверяющих. Допускается и использование аналогичных, но несколько видов, например, 3,3(3) или 3, (33) и пр. Тут каждый выбирает удобный для себя вариант, при условии того, что он не будет противоречить установленным математическим правилам.

Чтобы минимизировать вероятность получения просчетов, рекомендуется записывать лишь один период, которая располагается ближе всего к цельной стороне, то есть 3,(3) – такая запись оказывается проще в понимании и редко вызывает вопросы со стороны преподавателей и проверяющих. Да, подобное правило не зафиксировано в математической сфере, но оно считается общепринятым и рекомендованным к реализации.

Совет: Перед постановкой периода стоит убедиться, что в будущем отсутствует вероятность появления иных чисел. Например, при записи 3,333… подобная вероятность отсутствует, так как при любом раскладе деления будет получаться 3, так как преобразуется дробь одна третья.

Допускается использование округлений, которые помогают сделать цифру еще проще для проведения расчетов.

Важно: Округление может проводиться только в случае, если это допускается условиями задания. В противной ситуации – расчеты должны осуществляться при использовании выражений в начально заданном виде.

Правила округления остаются прежними – от 1 до 4 включительно – в меньшую сторону, от 5 до 9 включительно – в большую. Например, 3,33… может быть округлено до 3,33, а вот 3,375 уже округляется до 3,38. 

Важно: При решении упражнения внимательно изучается, до какого числа можно провести округление. Иногда – до целого, то есть 3,75 можно будет представить как 4 и уже после начинать решение. Это ускорит и упростит последовательные выполняемые шаги.

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Основные действия с десятичными дробями

С ними проводятся все те же действия, что и с обыкновенными. Сравнение проводится стандартным способом определения большего их представленных чисел или посредством перевода в неправильные дроби, если того требуют условия задания. При сравнении проще использовать десятичную форму, но если получается зацикленный вариант или описывается сложная ситуация – рекомендуется произвести перевод.

Вариант сложения – использование столбика. Требуется записывать числа строго друг под другом – десятки под десятками, а десятые под десятыми. Если будет проведен сдвиг хоть в одну из сторон – процесс решения упражнения усложнится и повысится вероятность получения неверного ответа и неудовлетворительной оценки.

Разность также просчитывается при использовании варианта в столбик. Принцип реализации не изменился.

Процесс умножения не отличается от вариации с натуральными числами – требуется осуществить умножение при использовании столбика, при этом перемножив каждое число, после этого верно выставить запятые.

Процесс умножения не отличается от вариации с натуральными числами – требуется осуществить умножение при использовании столбика, при этом перемножив каждое число, после этого верно выставить запятые.

Деление также не отличается. Есть лайфхак, на основании которого можно при делении двух десятичных выражений друг на друга произвести сдвижение запятой на равное количество знаков, а в случае, если в одной из записей знаки после запятой закончились, а в другой – нет, то там, где они отсутствуют, добавляется по одному нулю после каждого передвижения запятой во втором выражении. Звучит сложно, но на деле помогает сделать проще определение целой и нецелой частей.

Положение десятичных дробей на оси координат

Тут все просто – положение на системе координат определяется на основании разделения отрезка между цельными числами на равное количество сегментов, соответствующее знаку после запятой. Такой способ используется исключительно для формы записи с десятыми, крайне редко – сотыми, а для более сложных выражений положение определяется примерно.

Если разделить отрезок на 10 равных частей и высчитать нужную – легко, то разделить расстояние между единицами на 10 000 равных частей – крайне сложно и подобные операции принято не проводить.

Если разделить отрезок на 10 равных частей и высчитать нужную – легко, то разделить расстояние между единицами на 10 000 равных частей – крайне сложно и подобные операции принято не проводить.

Если разделить отрезок на 10 равных частей и высчитать нужную – легко, то разделить расстояние между единицами на 10 000 равных частей – крайне сложно и подобные операции принято не проводить.

Совет: Иногда для простоты сравнения следует осуществить перевод в неправильную форму записи.

Примеры