Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Произвольное дифференциальное уравнение первого порядка это дифференциальное уравнение  следующего вида:  

Уравнение вида    называется уравнением, разрешенным относительно производной.

Решить дифференциальное уравнение первого порядка означает найти все его решения. Можно показать, что решения дифференциального уравнения первого порядка представляют собой семейство функций зависящих от одной произвольной постоянной. Можно вспомнить задачу о нахождении первообразной для заданной функции. Эта задача обратная по отношению к задаче дифференцирования и представляет собой задачу решения простейшего дифференциального уравнения:  

Может быть поставлена задача нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка: найти решение удовлетворяющее условию:  . Или говорят так: найти кривую являющуюся решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяющую данному условию . Несмотря на малый порядок – первый дифференциальные уравнения    -го порядка могут быть достаточно сложные для решений. Тем не менее, есть несколько классов уравнений первого порядка, для которых имеются алгоритмы решения.

Перечислим эти классы уравнений.

1.  Уравнения с разделяющимися переменными.
2. Однородные уравнения.
3.  Линейные уравнения (однородные и неоднородные).
4.  Уравнения в полных дифференциалах.
5.  Уравнения, не разрешенные относительно производной.we

Пример 1 Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение:  

Находим общее решение: . Удовлетворим начальным данным:. Отсюда и частное решение .

Могут возникнуть задачи: по заданному семейству кривых найти дифференциальное уравнение первого порядка, которому это семейство удовлетворяет. Здесь следует поступить следующим образом: продифференцировать данное семейство по , а затем из системы пытаемся исключить .

 

Пример 2 Найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет семейство функций:  Дифференцируем это равенство по : . Отсюда . Подставляем выражение для  в уравнение семейства и получаем искомое дифференциальное уравнение: