Дифференциалы высших порядков
Пусть функция 
дифференцируема в точке Х и 
. Если мы зафиксируем приращение dx, то дифференциал dy можно рассматривать как функцию только от X. Таким образом, мы определим дифференциал от дифференциала или второй дифференциал по формуле:
При этом условились писать 
вместо более громоздкого выражения 
. Так что 
.
По аналогии с определением второго дифференциала определяем третий дифференциал как дифференциал от второго дифференциала:
Вообще дифференциал n - го порядка определяется по формуле:
Приведем несколько примеров вычисления дифференциалов второго и более порядков. Если можно, то следует применять формулы для вычисления производных более высоких порядков.
Запишем таблицу для дифференциалов n-го порядка, используя формулы для производных n-го порядка:
Формула 1
Формула 2
Формула 3
Формула 4
Формула 5
Пример 1 Найти дифференциал n-го порядка от функции
. Применяем формулу 2 и правило дифференцирования сложной функции:
Пример 2 Найти дифференциал n-го порядка от функции
. Применим опять правило дифференцирования сложной функции и формулу 4:
Что после преобразований дает:
.
Пример 3 Найти дифференциал n-го порядка от функции
. Здесь воспользуемся формулой Лейбница вычисления производной n-го порядка от произведения функций, а так же тем, что производная уже второго порядка от множителя равна нулю:
