Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Формулы сокращенного умножения или ФСУ – это уникальные математические формулировки, которые используют в процессе возведения в степень или в процессе перемножения чисел и примеров. ФСУ помогают производить вычисления быстрее и практичнее.

В нашей статье мы раскроем тему сокращенного умножения, покажем таблицы с примерами, а также расскажем, как можно решать задачи с помощью ФСУ.

Формулы сокращенного умножения на примере таблицы

По всероссийской школьной программе ФСУ проходят на курсах «Алгебры» 7-ого класса. В низу будут приведены главные правила, которые необходимо понять и запомнить.

Любое число в математике выражается английскими буквами a, b, с. Любая сокращенная задача также ее переменные – обозначаются этими буквами. Для решения примеров/ задач рекомендуется выучить семь главных уравнений. Для того чтобы выучить их легко и быстро, мы создали таблицу с примерами сокращенных умножений.

Первые четыре формулы сокращенного умножения, представленные в примере написаны на математическом языке. С их помощью можно легко и правильно находить квадрат суммы, сумму кубов.

Пятая, с помощь которой умножают числа поможет вычислить разницу двух или более квадратов, с использованием произведения их суммы.

Следующие представлены для эффективного перемножения суммы на неполную квадратуру или неполный квадрат суммы.

Формулы сокращенного умножения имеют также другое название – тождество сокращенного вычисления. Любое из равенств является истинным тождеством, поэтому удивляться тут нечему.

Большинство практических примеров вычисляется именно благодаря формулам сокращенного вычисления. Некоторые части задачи переставляются с места на место, чтобы в итоге получилось простое умноженное число. Такой способ может также понадобиться если раскладывать многочлен на несколько множителей.

Имеются ФСУ для вычисления под корнем:

Квадрат суммы

Каждая формулировка нуждается в собственной трактовке. Важно разобраться с принципом, по которому они читаются. К примеру, самая первая из всех: квадратная сумма двух чисел.

Заметка: квадрат двух равен первого вычисления, которое удвоено произведением.

Квадрат разности

Данную формулировку можно прочесть также, как второе или третье правило.

Читается как: квадрат разности двух равен сумме этих двух выражений минус удвоенное произведение как первого, также и второго.

Разность квадратов

Квадратная разность – это вариант, в котором присутствуют идентичные скобки с различными знаками.

Это здание часто применяется при разложении на множители, а также для алгебраических дробейЧитается следующим образом: Разность двух равна произведению их разности, суммы.

Три формулировки, приведенные выше нужно обязательно знать, использовать на практике, т.к. они делают задачи более удобочитаемыми, легкими.

Куб суммы

Итак, перейдем к кубу и к примерам с ним.

Читается как: куб двух равен суммарности кубов этих двух выражений, утроенного произведения квадрата первого на второе, утроенного произведения квадрата второго на первое выражение.

Куб разности

Куб разности – это также простая формула, которая помогает решить разные примеры.

Читается как: куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе, а также утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго. 

Сумма кубов 

Сумма кубов читается почти также, как и определение разности кубов:

Читается как: куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение первого на второе, а также утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Разность кубов

Практически идентичная сумме кубов формулу. Ее также принято называть неполным квадратом суммы, выражается следующим способом:

Практически идентичная кубам формула. Ее также принято называть неполным квадратом, выражается который следующим способом:

Читается как: разность двух выражений равна их произведению на неполный квадрат.

Бином Ньютона 

Формулы сокращенного умножения могут выражаться также бином Ньютона. Это основа, которая раскладывает двое переменных на отдельные друг от друга слагаемые целой отрицательной степени. Записывается она следующим способом:

Ньютон решил вывести биномную формулу для более общего понимания. Показатель степени здесь, это произвольное действительное число (когда формулировка распространилась по всему миру, она разделилась и на комплексные числа). Бином представляет собой как бы конечный ряд.

Сокращенные умножения как для квадрата, так и для куба разности – выполняют роль частных формул Ньютона.

Доказательство формул сокращенного умножения

Итак, в доказательстве ФСУ нет ничего сложного, разобраться сможет даже новичок. За основу можно взять свойства умножения, провести перемножить те части, которые находятся в скобках.

На примере можно рассмотреть:

Выражение должно вывестись на вторую степень. Для этого умножаем его на себя же, то есть:(a ‒ b)2 = (a ‒ b) (a ‒ b)

Далее, в примере необходимо раскрыть скобки:

(a ‒ b) (a ‒ b) =a2 ‒ ab ‒ ba + b2 = a2 ‒ 2ab + b2

Теперь все понятно решено. Любую другую историю сокращенного умножения можно доказать аналогично. Не стоит забывать о том, что разность не может быть равна разности, т.е.: a2 - b2 ≠ (a - b)2. Поэтапно все делается просто: вы иначе группируете выражение, выносите общий множитель за скобки - получаете точный результат, который доказывает решение.

Примеры применения ФСУ

Формулы сокращенного умножения быстро и эффективно возвести любую задачу в степень. ФСУ также можно применять, если сокращаются дроби или выражения, разлагаются многочлены, вычисляются интегральные выражения. Рассмотрим примеры практического применения ФСУ.

Важно! Все приведенные примеры содержат готовые формулы и ответы.

Пример

Преобразовать следующий пример (1 + 5х )2 –12х –1 в стандартный многочлен. Необходимо раскрытие скобок при помощи первой формулы и использования подобных слагаемых:

(1 + 5х)2 – 12х –1 = 1+10 х + 25х2 –12х –1 = 25х2 –2х

Пример

Разложим на множители выражение 25 25х4 – м10 t6.

Решить данный пример поможет степень и разность:

25х4 – m10t4 = (5x2)2 – (m5t3) 2 = (5x2 – m5t3) (5x2 + m5t3).

Вот так вот просто и практично можно решать примеры и различные задачи, достаточно лишь выучить все необходимое. Главное в решении примера – уметь упрощать его, приводить подобные слагаемые. Помимо аналитических доказательств, существуют также геометрические. Они связаны с алгеброй и также помогают решать задачи совершенно разного типа: начиная с 7-ого класса, заканчивая 11 классом.