Интегральный признак

Интегральный признак Коши. Пусть  есть неотрицательная монотонно невозрастающая функция, определенная для . Тогда ряд   сходится тогда и только тогда когда сходится несобственный интеграл . При этом, для остатка ряда 

справедлива оценка: .

Пример 1 Используя интегральный признак исследовать сходимость обобщенно гармонического ряда , для произвольных действительных чисел .

Отметим, что при  для ряда не выполняется необходимый признак сходимости: общий член не стремится к нулю.

Пусть . Рассмотрим функцию . Имеем  и функция  монотонно убывая стремится к нулю. Рассмотрим несобственный интеграл . Как известно, он сходится при , а при  интеграл расходится. Таким образом, согласно интегральному признаку, при  ряд сходится, а при  ряд расходится.

Пример 2 Используя интегральный признак исследовать сходимость ряда .

Здесь признаки сравнения не применить, так как ряд, с одной стороны имеет члены меньшие соответствующих членов гармонического ряда, с другой стороны, сходящиеся обобщенно гармонические ряды имеют меньшие члены, чем исходный ряд. 

Применим интегральный признак. Рассмотрим функцию . Она монотонно возрастает, и . Рассмотрим несобственный интеграл и преобразуем его:

 

Как мы знаем полученный интеграл сходится при  и расходится при . Следовательно, исходный ряд сходится при  и расходится при .

Оценка остатка ряда используется редко, поэтому не всегда ее включают в формулировку интегрального признака. Приведем пример ее использования:

Пример 3 Сколько членов ряда  следует взять чтобы вычислить его сумму с точностью до . Согласно интегральному признаку ряд сходится, так как сходится интеграл . При этом для остатка ряда справедлива формула . Найдем , при котором достигается требуемая точность. . Решая это неравенство для  находим: . То есть следует взять не меньше  члена.