Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида , где  - рациональная функция переменных  и  приводятся к интегралам от рациональных функций нового аргумента  при помощи универсальной подстановки . Из знакомых формул школьной тригонометрии находим: ,  

Таким образом, получили формулы для замены:  

Пример 1 Найти интеграл 

Делаем универсальную подстановку:   

По причине своей универсальности, эта подстановка не всегда оптимальна и часто приводит к громоздким выкладкам. В некоторых случаях делают другие подстановки.

1. Если , то делаем подстановку .
2. Если , то делаем подстановку .
3. Если , то делаем подстановку .

Повторим, что если есть возможность сделать одну из этих подстановок, то нужно ее делать, ибо универсальная подстановка приведет к существенно более громоздким выкладкам.

Пример 2 Найти интеграл 

Здесь, как ни странно, подходят все три подстановки. Сделаем первую подстановку. 

Следует отметить, что в отличие от дифференцирования ответ в неопределенном интегрировании проверяется дифференцированием, то есть достаточно просто:
Проверка.  .

Пример 3 Найти неопределенный интеграл .

Здесь перечисленные выше подстановки не подойдут. Воспользуемся школьной формулой: 

Имеем:  .

Если подынтегральная функция зависит от  и , то следует применять формулы понижения степени.

Пример 4 Найти неопределенный интеграл .

Используем формулы понижения порядка: . Находим:

Отметим, что различные подстановки приводят к совершенно различным по форме ответам. Если вы все делали правильно, то ответ получили тоже правильный, а само сведение одного ответа к другому может быть весьма долгой процедурой. В последнем примере, мы бы могли сделать подстановку из пункта 3 -  и получили бы ответ через .Он тоже был бы правильный.