Всем известно из школы квадратное уравнение:
,
поиск дискриминанта и решение вопроса: имеет ли квадратное уравнение корни или корень или нет. Как следует из основной теоремы алгебры, любое уравнение 
- ой степени имеет ровно корней с учетом кратности этих корней. Таким образом, любое квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно два корня. При этом кратные корни в комплексном анализе считаются ровно столько раз, какая у них кратность.
Утверждение. Пусть коэффициенты многочлена - ой степени
– действительные и 
его комплексный корень, тогда 
тоже является корнем этого многочлена.
Доказательство. Перейдем к комплексному сопряжению в равенстве 
: 
, так как 
. Поскольку коэффициенты многочлена действительны, то: .png){kind=small}
.
Получили 
, следовательно, 
- также корень многочлена 
.
Если коэффициенты квадратного трехчлена действительны, а дискриминант отрицательный, то пару сопряженных корней можно найти через дискриминант.
При этом в формуле
нужно учесть что 
.
Пример 1
Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами:
.
Решаем по «половинной» формуле:
.
Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один не действительный коэффициент, то корни не будут комплексно сопряженными.
Пример 2
Рассмотрим уравнение с комплексными коэффициентами:
Решаем через дискриминант.
.
Таким образом,
- корни нашего уравнения.
Пример 3
Решить квадратное уравнение:
Опять используем школьную формулу решения. Находим дискриминант:
Чтобы извлечь корень из дискриминанта обратимся к формуле извлечения корня
, то корни
имеют вид:
В нашем случае
.
Так что корни такие:
Теперь запишем корни исходного квадратного уравнения:
.
