Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
называется линейным дифференциальным уравнением .png){kind=small}
-го порядка. Если 
, то уравнение называется однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным.
-го порядка является уравнением с разделяющимися переменными и решается методом разделения переменных. Для решения неоднородного уравнения предложим следующий метод, называемый метод вариации произвольной постоянной. Продемонстрируем данный метод на примере:Пример 1 Решить линейное уравнение:
1). Сначала решаем однородное уравнение соответствующее исходному уравнению:
Или, освобождаясь от логарифмов и от модулей, получим общее решение однородного уравнения в виде:
2). Теперь, предполагая, что ,
то есть произвольная постоянная есть функция от независимой переменной, мы подставляем общее решение в исходное уравнение:
.png){kind=small}
Таким образом, общее решение исходного уравнения
.png)
Мы видим, что общее решение нашего неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения соответствующего неоднородному уравнениюи частного решения неоднородного уравнения
.
Иногда применяют следующий метод, по сути равносильный методу вариации постоянной. Продемонстрируем его на примере.
Пример 2 Решить линейное уравнение
1). Решение будем искать в виде
то есть в виде произведения двух функций.
Тогда исходное уравнение перепишется в виде
Найдем сначала какое-нибудь
, чтобы выражение в скобках обратилось в
. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
Берем
и
. Подставляя в уравнение относительно
и
, получаем еще одно уравнение с разделяющимися переменными:
.png){kind=small}
.png){kind=small}
Следовательно, общее решение исходного уравнения
.
Как и в предыдущем примере, общее решение представляет собой сумму общего решения однородного уравненияи частного решения неоднородного уравнения
.
В некоторых случаях уравнение не является линейным относительно функции, но становится линейным, если сделать замену переменных или если поменять местами функцию
. Приведем пример такого уравнения.
Пример 3 Решить дифференциальное уравнение:
.Сделаем в уравнении замену
и преобразуем его:
.Решим уравнение методом вариации постоянной. Сначала решаем однородное уравнение:
Теперь считаем, что
и подставляем его в неоднородное уравнение для
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения
. Отсюда общий интеграл исходного уравнения:
.
