Рады, что вам понравилась статья 😊
![](/img/articles-pg/modal-pdf.webp)
В этой статье мы объясним, как выполнять сложение и вычитание матриц, находить произведение матрицы на число и произведение матричных таблиц. Также расскажем, что такое определитель матрицы, обратные матрицы и как выполнять транспонирование матричных таблиц.
Сложение и вычитание матриц можно выполнять только в случае, если матрицы одинаковой размерности.
Определение У матриц одинаковая размерность, или одинаковый порядок, если количество их столбцов и строк совпадает.
Пример
![]()
Данные матрицы одинаковой размерности, так как имеют одинаковое количество столбцов и строк.
Чтобы осуществить сложение или вычитание матриц, нужно провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на этой же позиции.
Найдем сумму матриц А+В, где:
Получается, элемент с индексом 11 равен a11 + b11, соответственно, результат выглядит таким образом:
Вычитание проводится аналогично.
Пример
Вычислите А+В и А-В, если![]()
Решение:
Необходимые действия выполняем для каждой пары элементов:
Определение Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А.
Пример Выполните умножение матрицы А на число λ= 5.
Решение:
Чтобы выполнить умножение двух матриц, количество столбцов одной матрицы должны совпадать с количеством строк в другой, то есть Am×n ⋅ Bn×p = Cm×p.
Имея две матрицы, которые необходимо перемножить, можно определить порядки новой матрицы.
Если задача стоит в умножении A3×2 и B2×3, то результат будет иметь размер 3×3:
Заметка Если количество столбцов одного матричного множителя не совпадает с количеством строк второго матричного множителя, то умножить матрицы невозможно.
Определение Определитель матрицы, или детерминант, представляет собой число, с которым сопоставляется любая квадратная матрица. Определитель обозначается ∆ или det.
Если матрица равна одному элементу, то ее определитель равен этому элементу: detA = |a11| = a11.
Вычислить определитель матрицы можно по данному правилу:
Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:
Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:
Если определитель матрицы задан размером в три и более столбца и три и более строки, то для его нахождения используется метод Гаусса или разложение матрицы по строчке и столбцу.
Результатом умножения исходной матрицы A на обратную матрицу А-1 является единичная матрица Е.
Самый простой метод нахождения обратной матрицы — метод Гаусса.
Пример
Дана матрицаНеобходимо найти обратную матрицу.
Решение:
1. Записываем матрицу А и рядом с ней соответствующего размера матрицу Е:
2. К нулю в последней строчке первой позиции прибавляем умноженную на -3 верхнюю строчку:
3. Обнуляем последний элемент первой строки путем прибавления нижней строчки к верхней:
4. Делим вторую на -2:
5. Получаем результат:
Определение Транспонирование — это смена мест строк и столбцов в матрице или определителе с сохранением их исходного порядка.
Определитель транспонированной матричной таблицы AT будет равен определителю исходной матрицы A.
Пример
Транспонируйте матрицу А.
Решение:
Для начала найдем детерминанту:
Теперь выполним транспонирование матрицы А:
Найдем детерминанту для AT: