Наибольшее и наименьшее значение функции

Что такое функция

Функция представляет собой определённую взаимосвязь величин. Иными словами, это взаимозависимость одной переменной величины от другой. Величина у зависит от величины х по известному закону или правилу, которое обозначается f. Иными словами, это равенство двух множеств, при котором каждому элементу одного множества соотносится единственный атрибут другого множества. Зависимость величин рассматривается через функцию: когда становится другой величина "x", то тогда и величина "y" тоже поменяется. График функции y = f(x) - это множество всех точек плоскости. 

Формула p/t=k - это зависимость давления газа fix массы и fix объёма от температур абсолютного значения газа. Давление фиксированного объема и фиксируемого объема прямо зависит от абсолютных t газа и записывается формулой ptk. Давление записано буквой p и считается линейной температурой t. В любой формуле можно увидеть зависимость какой-либо величины от иной величины. То есть при увеличении температуры газа, увеличивается и давление. Возникает зависимость от нескольких величин. Например, p = nkt является уравнением состояния идеального газа. Через 2 величины находится "p". Газ становится концентрированным и записывается, как n, а его температура, как t. Также при записи формулы y = f(x) рассматривается зависимость y от переменной x. 

Поэтому вернёмся к записи y = f(x) и увидим, что при каждом допустимом значении x мы получаем точное обозначение y, применяя правило f. Т.е. определение функции также выражает действие над величиной, чтобы получить показатель другой величины.

Графическое задание функции

Графический метод — это способ обозначения f с помощью графика, где аргумент представлен абсциссой точки, а обозначение функции, которое равно этому аргументу, представлено ординатой. 

Если f отображать графическим методом, то иногда не легко вычислить численные показатели аргумента. Но у этого метода есть большое преимущество перед остальными методами, это то, что он является наглядным. Графический метод очень часто применяют в технике и в физике. Для корректного отображения функции необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика. Такая конструкция задается уравнением. 

Функция у = f(х) задаётся множеством всех неотрицательных чисел с помощью этого правила: каждому числу х > 0 ставится в равенство самый первый знак после запятой (десятичная запись числа х). Можно сказать, что х = 2,534, а f(х) = 5 (первым знаком после запятой ставится цифра 5); если х = 13,002, то f(х) равно 0; если то, записав в виде бесконечной (∞) десятичной дроби 0,6666..., находим f(х) = 6. Показатель f(15) равняется 0, так как 15 = 15,000... , и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще-то верно и равенство 15 = 14,999...

Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби, которая равна от −∞ до +∞, а потому для каждого значения х можно рассчитать определенное обозначение первого знака после запятой, так что мы можем говорить о f, хотя и несколько необычной. У этой функции D (f) = [0, +∞), E (f) = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Показатель максимума и минимума функции - это рассчитанная производная функции f ′ ( х ). Далее решается уравнение f ′ ( х ) = 0 и находятся постоянные точки. Наименьшая (наибольшая) величина f - самое маленькое принимаемое обозначение ординаты на рассматриваемой отрезке.

Чтобы найти показатели максимума и минимума f, необходимо: Вычислить производную функцию f ′ ( х ). Рассчитать постоянную точку с помощью уравнения f ′ ( х ) = 0. То есть наибольшим показателем f является max число на известном промежутке при x0 абсциссе. Наименьшее число - это min обозначение на одном и том же отрезке при х0.

Определение №1

Фиксированные показатели аргумента f именуются неизменными точками. При этих значениях происходит обращение производной в ноль. Необходимо знать, что не всегда можно определить max или min обозначение f на обозначенном отрезке. Например, когда границы какого-либо промежутка равны границам обозначенной области, при рассмотрении отрезка, у которого нет окончания.

Показатели f бывают как беспредельно малыми (−∞), так и бесконечно большими (+∞) на каком-либо обозначенном отрезке или на бесконечности от −∞ до +∞. В итоге будет сложно определить max или min значение.

Определение №2 

Неравенство f(Xf(x)≥f(x0) справедливо, когда основной показатель минимума функции y=f(x) на каком-то интервале x – обозначается minx∈Xy=f(x0) при x∈X, x≠x0 (любые показатели).

Определение №3

Неравенство f(x)≤f(x0) справедливо, когда max значение функции именуется y=f(x), при условии, что эта функция располагается на каком-либо интервале x, его обозначение max y=f(x0)x∈X при xx∈X, x≠x0 (любые значения). 

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках

Можно легко вычислить y max и y min, если, например, рассмотреть график. На этом графике заданный отрезок изображён в виде прямой линии:

1. если функция становится больше, то самое min обозначение f будет равняться min аргументу и наоборот, max показатель функции будет равен max значению аргумента; 
2. если функция уменьшается, то min показатель f будет соответствовать max аргументу, и наоборот, max значение функции будет равняться min значению аргумента.

График функции y=f(x) показан на рисунке. Теперь проведём исследование функции графически. В качестве примера рассмотрим график и выясним все нужные для нас показатели.

• точки максимума и минимума;
• основной показатель f на отрезке (max и min);
• нули f;
• определение f через промежуток;
• интервалы возрастания и убывания;
• область показателей f.

Определение наименьшего и наибольшего значения через производную

Производная f — это отношение вхождения функции к присоединению аргумента при безгранично малом приращении аргумента.

Производная функции целесообразна. Она показывает быстроту увеличения f при беспредельно маленьком увеличении. Поиск производной - осуществление определённых действий с помощью таблицы производных f. Точка неизменного вида - это точка, когда понятие аргумента производной f сравнивается с 0. 

Есть такая теорема Ферма. В ней сказано о том, что определение экстремума функции возможно в неизменных точках. Это означает, что на определённом интервале высчитывается max и min значение f.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Как максимум функции, так и её минимум, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданному промежутку, например, далее - в 2-х.

Алгоритм определения:

• Сначала требуется определить область функции f и подтвердить располагается ли в ней заданный отрезок.
• Находим все точки, где первой производной нет, но которые находятся в отрезке. Эти точки нередко появляются в функциях, в которых аргумент имеет значок модуля, а также в функциях степенного дробного коэффициента.
• Определите производную f, а затем вычислите все стационарные точки, находящиеся в пределах отрезка.
• Сравните производную с нулем и определите точки, на которых функция тоже нулевая. Если нет установленных стационарных точек или ни одной из них нет в пределах отрезка, то переходим к следующим шагам.
• Выбрать из корней уравнения точки в заданном промежутке и просчитать показатели функции в этих точках.
• По точкам начала и конца интервала можно отыскать значение функции.
• Сделать вывод о max и min показателе функции.
• Полученные показатели функции максимума, а также минимума и будут искомыми.

Такие точные действия помогут сделать необходимые вычисления наиболее быстро и просто.

Пример №1 

Просчитать max и min значения функции f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 2 на отрезке [0; 3].

Решение нужно делать по алгоритму:

1) D(f) = (-∞; +∞).

2) f (x) = 6x2 – 18x + 12

3) Точки, которые неизменны: х = 1; х = 2.

1= (0; 3); 2=(0; 3).

4) f(0) = -2

f(3) = 7;

f(1) = 3;

f(2) = 2;

5) f (min)=f(0) = -2;

f (max)=f(3) = 7;

Ответ: f (min)= -2.

f (max)= 7.

Пример №2

Рассмотрим такую задачу: найти max и min значение f, если y = x^2 + 5x - 6 на отрезке [-1; 5].

Пошаговое руководство для решения этой задачи:

ОДЗ: x∈R;

y'=2x+5;

2x + 5 = 0;

x = -2,5;

x=-2,5x=−2,5 нет в промежутке [-1;5];

f в крайних точках равняется:

y(-1)=-10

y(5)=44

Тогда y=-10 - это наименьший показатель на данном отрезке, а y=44 наибольшее.

Если рассматривать определение значения максимума и минимума функции через примеры, то обосновывать полученные итоги не сложно.

Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале

В чём различие отрезка и интервала? В промежутке крайние точки могут не быть (−∞; +∞), а в отрезке точно просчитаны крайние точки. Но обозначение функции в них мы исследовать не будем (на промежутке (−3; 5) мы освоим показатель f в окрестностях этих точек, но не в них самих). Алгоритмов задания промежутка может быть множество, но каждый из них сведёт обозначение y max и y min к поиску основной производной и вычислению лимитов в предельных точках. Например, lim f(x), где x-> a+0 и lim f(x), где x-> b-0.

Перед изучением этого метода рекомендуется повторить основные правила верного вычисления одностороннего предела, бесконечного предела (−∞ до +∞) и далее узнать основные методы их поиска.

Выполняется поиск максимума и минимума f на открытом или неограниченном отрезке:

1. Проверить область определения функции. Можно ли назвать заданный отрезок подмножеством.
2. Необходимо вычислить все точки. Они отображены в необходимом промежутке. У этих точек не существует первой производной. Такое происходит в функциях, в которых аргумент отображается в модульном знаке. Подобное бывает и в степенных функциях (f) в которых рациональный показатель дробен. Если этих точек нет, можно перейти на следующий шаг.
3. Затем вычислить, сколько постоянных точек будет отображено в указанном отрезке. Сначала производная приравнивается к 0. Следующим шагом становится подбор подходящих корней и решение уравнения. Если нет ни одной постоянной точки или эти точки не отображены в определенном промежутке, то выполняется следующее.
4. Сделать вывод по известным показателям f и пределов. Методов много, но никаких итоговых результатов выяснить не получится, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности (−∞; +∞). 

Пример №3

Нужно сделать поиск постоянных точек заданной f: y'=4x2 + 4.

y'=(4x2 + 4)'=8x;

y'=0; 8x=0=>x=0;

x=0 - называется неизменной точкой.

Таким образом, можно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов.