Натуральные числа

Натуральные числа проще всего определить их перечислением: . Вроде бы все понятно. Строгое определение конечно не такое, его не дают даже в школе. Почему? Потому, что оно конечно строгое, но ясности не добавляет. Вот это определение:

1. Единица – натуральное число.
2. Если -  натуральное число, то - тоже натуральное число.
3. Других натуральных чисел нет.

Третий пункт требуется для порядка, чтобы никакие другие числа (не натуральные) не затесались в наш натуральный ряд. Так называется множество натуральных чисел выписанных в порядке возрастания: .

Если число делится на число без остатка, то число называется делителем числа . 

Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на само себя и на единицу.

Если число не простое, оно называется составным.

Одной из задач, которые ставятся для натуральных чисел, есть разложение их на множители. Интерес вызывает такое разложение, в котором все сомножители есть простые числа.

Пример 1 Разложение числа  на множители может быть таким:

.

Последнее разложение на простые множители однозначно с точностью до перестановки множителей. Этот факт представляет собой  содержание основной теоремы арифметики:

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число однозначно представляется в виде произведения своих простых сомножителей (с точностью до перестановки сомножителей).

Это означает, что мы не различаем разложения: и .

В число простых чисел не входит единица. Это сделано для удобства, иначе в большинстве вопросов о разложениях пришлось бы оговаривать: не включая единицу и т.д.

Простые числа не всегда легко определить. Конечно, опытный математик сразу скажет простое число или составное, если само число в пределах сотни. Для больших чисел нужно уже делать анализ. Дадим еще несколько определений.

Пусть нам даны несколько натуральных чисел . Число называется общим делителем этих чисел, если на него делится каждое из чисел .

Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из чисел , называется наибольшим общим делителем чисел , или сокращенно .

Пример 2 Найти наибольший общий делитель чисел и .

Разложим каждое из этих чисел на простые множители: ; и .

Общие простые сомножители у чисел это и . Множитель встречается во всех трех числах по одному разу, а множитель встречается один раз во втором числе. В остальных числах – два раза в числе и три раза в числе . Таким образом, наибольший общий делитель всех трех чисел это . Можно схематично записать так .

Пусть нам даны несколько натуральных чисел . Число, которое делится на каждое из чисел , называется общим кратным этих чисел. Одно из таких общих кратных есть произведение всех чисел . Вызывает интерес наименьшее из таких общих кратных. 

Такое число существует и называется наименьшим общим кратным чисел , сокращенно . Покажем, как находить .

Пример 3 Найти наименьшее общее кратное чисел  и .

Здесь следует также записать разложение на простые множители всех трех чисел:

 ; и .

Поступаем наоборот: берем простые множители в наибольшей степени: и их перемножаем .

Если имеются всего два числа , то, как нетрудно показать их и связаны с данными числами простым соотношением: .

В заключение приведем еще несколько примеров.

Пример 4 Какое из чисел больше: или ?

Для решения используем свойства числовых неравенств и запишем очевидную цепочку:

.

Пример 5 Какая последняя цифра числа ?

Отметим, что оканчивается на , следовательно, оканчивается на . Отсюда следует, что тоже оканчивается на . Осталось заметить, что оканчивается на .

Пример 6 Доказать, что для любого натурального число делится на .

Из двух подряд идущих натуральных чисел (у нас это и ) одно делится на .

Остается показать, что число делится на . Рассмотрим число . Оно может делиться на , может при делении на давать остатки или . 

Таким образом, для  возможны следующие три представления: .

В первом случае первый множитель числа делится на три, во втором случае делится на , и, наконец, если , то делится на . Итак, мы показали, что делится на и на , следовательно делится и на .