Объем и площадь параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед: формула объема

Представим фигуру. В ней ребра, которые лежат друг напротив друга, параллельны. Противоположные стороны фигуры тоже расположены параллельно. Дадим названия трем ребрам, исходящим из одной точки. Ребра: a, b, c.

Получаем объем, перемножая значения трех разных ребер.

Выведем формулу: V=a*b*c.

Формула площади поверхности параллелепипеда

Рассмотрим предыдущую фигуру со сторонами a, b и c. Общая площадь поверхности получается из суммы площадей всех его сторон. Сторон у параллелепипеда шесть. Выведем формулу с шестью площадями:

Sp=S1+S2+S3+S4+S5+S6 , где p — параллелепипед.

Упростим выражение. Противоположные грани равны. Значит справедливы равенства: S1=S3; S2=S4; S5=S6. 

Дальше из равенств площадей граней выведем уравнения с произведением ребер. Так получается:

S1=S3=ab;

S2=S4=bc;

S5=S6=ac.

Добавляем полученные уравнения в формулу общей поверхности:

Sp=2*(ab+bc+ac).

Представим, что все ребра, исходящие из одной точки, равны значению a. Тогда справедливо следующее выражение для площади поверхности:

Sc=6a (c — в данном случае у нас куб; а — одно его ребро).

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Можно по-другому сгруппировать переменные формулы. Теперь введем площадь оснований и площадь боковой поверхности. Вернемся к прошлой фигуре со сторонами a, b и c.

Формула площади основания: Sосн пар.=ab (а — длина фигуры; b — ширина фигуры).

Формула боковой поверхности: Sбок пар.=2c *(a + b) (с — высота фигуры).

Собираем в общее выражение: Sp=2Sосн+Sбок.

Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Напомним формулу боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда:

Sбок=2c(a + b) (с — высота фигуры).

Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Проще понять данный материал через решение прикладных задач. Рассмотрим примеры.

Задача на объем параллелепипеда

Дана фигура со значениями ребер a, b, c — 5 см, 6 см, 10 см соответственно. В фигуре противоположные ребра и грани параллельны. Найти объем фигуры.

Решение. Необходимо перемножить значения трех граней.

Получается:

V  = 5 см * 6 см * 10 см = 300 см3.

Задача на общую площадь параллелепипеда и на площадь его боковой поверхности

Дана та же фигура с ребрами a, b, c – 5 см, 6 см, 10 см соответственно. Найти площади общей поверхности и боковой поверхности.

Решение. Воспользуемся вторым способом группировки значений. Тогда задача решается в три шага.

1. Площадь основания: Sосн = 5 см * 6 см = 30 см2;
2. Площадь боковой поверхности: Sбок =2 * 10 см (5 см + 6 см) = 220 см2;
3. Общая площадь фигуры: Sp = 2 * 30 см2 + 220 см2 = 280 см2.

Ответом на задачу являются результаты: 220 см2 и 280 см2.