Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Подставляем данные:

В статье будут рассмотрены тригонометрические формулы. Удобно иметь в одном месте нужную информацию. Здесь представлены необходимая информация, которая потребуется при решении задач по заявленной теме. 

Равенства из статьи удобно расположены по разделам, можно сохранить выражения в виде картинок на компьютер или в смартфон. Запомнить их непросто, поэтому ученики и студенты нередко на занятиях по математике, физике пользуются распечаткой. Рассмотрев равенства поближе, вы поймете, что одна вытекает из другой. Заметите закономерности.

Тригонометрические формулы

Определение №1 Тригонометрия – область математики, в которой изучаются свойства и применение тригонометрических функций. Область применения науки обширна: медицина, астрономия, строительство, биология, землеизмерение. 

Заметка №1 Впервые слово «тригонометрия» встречается в работах немецкого математика Питискуса в 16 веке. Слово образуется от 2-х греческих слов: треугольник, мера. Другими словами, этот раздел представляет собой область, занимающуюся измерениями треугольников. 

Синус, косинус, тангенс, котангенс связаны между собой большим количеством соотношений. Ниже представлены математические законы, позволяющие решать стандартные задачи в алгебре.

Формулы приведения 

Любой угол отличный от 0 до 90 градусов есть возможность трансформировать с помощью математических равенств в острый. 

Значения для основных градусных мер, используемых при решении математических задач чаще всего сводятся в специальные таблицы. Если они представлены величинами, отсутствующими в таблицах, можно рассчитать значение с помощью тождеств выше. 

Если величина необязательно нужна в виде дроби, то точные значения, до четырех знаков после запятой, можно найти в таблице Брадиса.

Заметка №2 Таблицы Брадиса – книга, собирающая около 20 таблиц с готовыми рассчитанными значениями. Данные позволяют сократить расчеты до минимума. Впервые книга была опубликова на в 1921 году.в советское время пособие Брадиса было бестселлером и переиздавалось на сегодняшний день более 20 раз.

Основное тригонометрическое тождество 

Это основное правило в тригонометрии. Оно показывает взаимосвязь между синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом. В учебниках нередко его прописывают, как «тождество Пифагора», поскольку в основе выражения лежит теорема Пифагора. Зная значение одной из математических функций, есть возможность найти неизвестный показатель. Так, зная косинус, можно найти для него синус. 

Заметка №3 Если угол находится в первой четверти окружности, то знак cos и sin положительный. Если же угол во второй, то cos имеет знак минус.

Если угол в третьей четвери, то и сos, и синус отрицательны. В четвертой четверти синус со знаком «минус», а сos со знаком «плюс».

Из выражения sin и cos вытекают выражения с tg и ctg. Для этого каждая часть делится наВ результате получаем:

Заметка №4 Верны при значениях, которые не принадлежат 

Заметка №5 Верно для всех значений кроме радиан π * z

Определения математических функций показывают взаимосвязь между cинусом, косинусом, котангенсом, тангенсом с помощью:

Взаимосвязь между тангенсом и котангенсом выражается следующим правилом:

Заметка №6 Радиана не должна быть равна  функция при таком значении не будет определена.

Основные формулы используются достаточно часто, поэтому их для высокой скорости решения лучше запомнить. 

Решение задачи на основании математических равенств

Условия задачи:

Нужно найти cos, tg, ctg при sin α = 6/7.

Решение:

1 шаг. Выражаем сos из основного тождества:

Теперь можем найти тангенс:

Котангенс определим следующим образом:

Формулы кратного угла

Выделяют выражения для кратных углов: двойных, тройных, половинных.

Формулы двойного угла

Угол функции представляется в виде 2n. n- натуральное число, в равенстве оно записывается без скобок, однако это не строгое условие. 

Рассмотрим пример, чтобы убедиться в справедливости равенств. Допустим у нас α= 45◦

Верно, косинус 90 градусов равняется 0.

Формулы тройного угла

Формулы половинного угла

Следствием математических правил двойного угла является выражение половинного. Величины рассчитываются с помощью показателей целой градусной меры. Математические правила представлены ниже:

Важно при расчетах косинуса, синуса значения могут принимать любые значения. Для tg α≠π+2π⋅z (z – любое целое число). Для ctg условие: α≠2π⋅zα≠2π·z.

Зубрить данные равенства нет необходимости, самое главное, правильно подставлять значения.

Формулы понижения степени

Чаще всего при решении математических задач используются выражения для второй, третьей и четвертой степени.  Выражения для синуса и косинуса выглядят они следующим образом:

Тангенс, котангенс вычисляются по выражениям, выведенным на основании определений, которые дает геометрия. Тождества выглядят следующим образом:

При расчетах неудобно пользоваться большими степенями, выражения получаются большими, громоздкими и неудобными. Равенства, снижающие степень функции, упрощают вычисления.  

Универсальная тригонометрическая подстановка

Выполнять вычисления намного проще с целыми числами, представленными без корней. Значение любой тригонометрической функции находят с помощью универсальной тригонометрической подстановки, которая нередко подразумевает использование равенства тангенса половинного угла. 

Универсальная подстановка помогает при решении математических уравнений определенного вида, интегрировании тригонометрических функций.

Заменим tg α/2 на показатель «t». Общий вид выражений в таком случае будет таким:

Таким образом, получаем, что универсальная тригонометрическая подстановка – метод преобразования равенства, содержащий синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы к тождеству, содержащий тангенс половинного угла. 

Произведение тригонометрических функций

Выражения произведения получены с помощью тождеств сложения. Ниже представлены равенства умножения синусов, косинусов, синусов на косинусы.

Пример №1 Допустим, что α= 75◦ β= 15◦. Наша цель: найти произведение синусов функций.

Берем правило:

Подставляем данные:

Пример №2 Нужно найти произведение синуса 60◦, косинуса 30◦.

Для расчетов потребуется:

Подставляем величины из «дано»:

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность, сумму тригонометрических функций в математике можно найти с помощью произведения. Разложение на множители удобно использовать при расчетах на практике.