Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

Параллельность – это то понятие, с которым ученикам предстоит сталкиваться часто, в особенности в геометрии. Первая рассматриваемая тема относится именно к простым линиям, которые располагаются в той или иной плоскости и по условиям задачи являются не пересекаемыми. Встречаются задания, в которых требуется самостоятельное приведение доказательной базы, на основании которой это утверждение можно подтвердить или опровергнуть.

Для решения геометрических задач требуется предварительно ознакомиться с понятием параллельности, разобраться в условиях и признаках, с которыми человек будет сталкиваться в процессе решения заданий, а также рассмотреть расположение в прямоугольной системе координат.

Параллельные прямые: основные сведения

При построении на плоскости линии не имеют общих точек и не будут их иметь при продолжении в любом из выбранных направлений. Они могут располагаться в удалении друг от друга, иметь различные заданные показатели длины, но при этом оставаться несоприкасаемыми.

Рассмотрим трехмерное пространство – добавляется условие, в соответствии с которым требуется расположение в единой плоскости. Тут допустимо рассмотрение отсутствия соприкосновений и составление доказательства относительно этого.

Важно: Заданные линии обязательно должны располагаться в единой плоскости, так как прямые не имеют точек пересечения, но при этом не соответствуют заданному условию – они считаются скрещивающимися.

При записи условий заданий принято использовать символ в виде двух вертикальных черт (представлен на изображении выше). Он считается общепринятым и используется при решении заданий в любой образовательной организации, мероприятиях, выступлениях и пр. Это экономит время на прописывании всех условий в буквенном варианте, а также упростить понимание записи студентами и обучающимися, так как визуальное восприятие становится проще.

При записи условий заданий принято использовать символ в виде двух вертикальных черт (представлен на изображении выше). Он считается общепринятым и используется при решении заданий в любой образовательной организации, мероприятиях, выступлениях и пр. Это экономит время на прописывании всех условий в буквенном варианте, а также упростить понимание записи студентами и обучающимися, так как визуальное восприятие становится проще.

При изучении тематики обучающийся столкнется с аксиомой, на основании которой можно понять, что через любую точку в пространстве, в котором располагается прямая, не относящуюся к ней, может быть нарисована единственная линия, которая в результате будет соответствовать параллельности.

Аксиома:

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

Когда рассматривается пространство, применяется теорема:

Теорема 1

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

В случае, если потребуется предоставление доказательств относительно нее – воспользуйтесь ранее представленной аксиомой, ведь, как известно, аксиома – это утверждение, не требующее доказательств.

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности прямых – это определенное условие, при соблюдении которого признается отсутствие точек соприкосновения неукоснительно. В результате доказательства одного из условий пропадают любые сомнения, и не требуется приведение дополнительных вычислений, следовательно, обучающихся должен знать все основные признаки и условия, которые помогут ему в решении геометрических заданий.

Важно: В случае, если при решении выясняется, что условие не соблюдается для решаемой задачи – линии все же будут иметь место пересечения, утверждение о параллельном расположении опровергается.

Перед тем, как начать рассмотрение теорем, требуется дать определение секущим. Это такой отрезок (или другое), пересекающий каждую из двух прямых, которые рассматриваются в предоставленных условиях. При этом образуется 8 углов неразвернутого типа, на основании которых допускается проведение вычисление и выстраивание доказательной базы.

При проведении вычислений и рассмотрении полученного чертежа значение имеют накрест лежащие углы, а также односторонние. Для простоты понимания расположения они представлены на схеме:

Теорема 3:

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

Теорема 4:

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

По мере надобности преподаватель рассматривает подробную последовательность шагов и правила проведения расчетов. Для представленных теорем требуется дополнительно рассмотреть изображения, на основании которых можно будет лучше понять суть высказываний:

Следующее утверждение, которое будет изучаться при прохождении темы:

Теорема 5:

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

И аналогичным способом производится формирование данных относительно трехмерного пространства:

Теорема 6:

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Рекомендуется рассмотреть схемы для описанной ситуации:

Все высказывания помогут выстроить грамотную и последовательную доказательную базу для решения геометрических заданий. При этом требуется внимательно подходить к выбору нужного номера теоремы, так как иначе уже в моменте решения будет выявлено, что она не соответствует заданным условиям, из-за чего дойти до логического завершения – не получится.

Перед тем, как начать проведение вычисление, стоит прописать условия задачи, после этого нарисовать чертеж, и лишь затем приступать к выбору удобного способа реализации расчетов. Лишь так можно будет исключить потерю времени на рассмотрении неподходящего варианта.

Совет: При изучении темы важно сразу задавать уточняющие вопросы преподавателю, просить рассмотреть то или иное утверждение повторно на ином примере, грамотно оценивать степень понимания –риск появления проблем при самостоятельном вычислении и при написании контрольной работы неудовлетворительной оценки будет минимальным.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

При изучении прямоугольной системы координат обучающийся понимает, что расположение прямой устанавливается на основании представленного уравнения. Таким же образом для линии, которая представлена в трехмерной системе координат, также может быть найдено определяющее уравнение, на основании которого могут быть получены дополнительные сведения.

Чтобы получить правильный ответ при решении упражнения, в котором представлены прямоугольная система координат, требуется предварительно ознакомиться с теоремой, применимой для большинства ситуаций:

Теорема 7:

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

На ее основании можно сделать вывод о том, что условие параллельности выводится на основании условия коллинеарности векторов (допустимо рассмотрение условия перпендикулярности). То есть две прямые должны быть направляющими соответствующих векторов.

Для определения координат в системе используются уравнения, на основании которых проводятся расчеты. Рассмотрение примеров положительно скажется на понимании сложного высказывания:

Получается, в случае, если линии в установленной плоскости прямоугольной системы задаются при использовании уравнения, включающего в себя угловой коэффициент – показатели данного коэффициента окажутся равными. Следовательно, в случае, если угловой коэффициент оказывается равным для обоих заданных, то они будут располагаться в плоскости параллельно друг другу.

Получается, у прямых присутствуют направляющие вектора, следовательно, условие может быть сформулировано следующим образом:

Приведенный далее пример позволит понять правильную последовательность шагов при решении упражнений в прямоугольной системе координат без использования посторонней помощи:

Пример:

Заданы две прямые:

 

Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

Мы видим, что  — нормальный вектор прямой 2x−3y+1=0, а  — нормальный вектор прямой 

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t, при котором будет верно равенство:

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Для проведения доказательства может использоваться теорема, на основании которой можно понять, что достаточным условием будет коллинеарность векторов, заданной условиями или выявленной самостоятельно:

Теорема 8:

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными. 

Получается, что для решения заданий, в которых используется система координат, следует опираться именно на определения расположения и направления векторов, которые соответствуют прямым.

Пример:

Заданы прямые:

Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы  заданных прямых имеют координаты: (1, 0, −3)(1, 0, -3) и (2, 0, −6)(2, 0, -6).

Так как:

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.