Положительным рядом называется ряд 
, все члены которого положительны.
Последовательность частичных сумм положительного ряда есть монотонно возрастающая последовательность. Для монотонно возрастающей последовательности критерий сходимости прост: эта последовательность будет сходиться тогда и только тогда, когда она ограничена. Итак:
Положительный ряд всегда имеет сумму. При этом, эта сумма будет конечной (а ряд сходящимся) если последовательность частичных сумм ограничена сверху, и бесконечной (а ряд расходящимся) в противном случае.
Все признаки сходимости положительных рядов, так или иначе, опираются на это утверждение.
Сходимость или расходимость ряда часто устанавливают путем сравнения этого ряда с другим рядом, про которого известна его сходимость или расходимость.
Теорема сравнения 1. Пусть для двух положительных рядов и 
известно, что 
для всех 
. Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда . Обратно, из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Часто вместо теоремы 1 на практике применяют ее следствие:
Теорема сравнения 2. Пусть для двух положительных рядов и существует предел 
. Тогда, если 
, то ряды и сходятся или расходятся одновременно. Если 
, то сходимость ряда следует из сходимости ряда , а если 
, то сходимость ряда следует из сходимости ряда .
Пример 1 Исследовать ряд
, где
на сходимость.
При
общий член ряда
, то есть на выполняется необходимый признак сходимости, то есть ряд расходится. Пусть
. Тогда справедлива оценка
, а мы знаем что ряд
- сходится. Следовательно, по теореме сравнения 1, исходный ряд сходится.
Пример 2 Исследовать ряд
на сходимость.
Рассмотрим заведомо сходящийся ряд
и найдем предел отношения общих членов этих рядов:
Согласно второй теореме сравнения исходный ряд
Пример 3 Исследовать ряд
на сходимость.
Этот ряд называется гармоническим рядом. Покажем, что последовательность частичных сумм этого ряда не ограничена. Рассмотрим частичную сумму
. Сгруппируем члены этой суммы следующим образом:
.png)
при
. Тем самым мы показали, что последовательность частичных сумм гармонического ряда не ограничена. Следовательно, гармонический ряд расходится.
В теории рядов, пожалуй, самое большое значение имеет обобщенный гармонический ряд
. Дело в том, что с этим рядом удобно сравнивать. Но для этого нужно знать, при каких
этот ряд сходится, а при каких расходится. Справедливо следующее утверждение:
Утверждение. При
обобщенный гармонический ряд сходится, а при
- расходится.
Пример 4 Исследовать ряд
на сходимость.Преобразуем общий член ряда:
И сравним наш ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом
. Найдем отношение общих членов рядов:
Согласно второй теореме сравнения, эти ряды или оба сходятся, или оба расходятся. Но, поскольку ряд
сходится, то сходится и исходный ряд
.
