Правило Лопиталя это правило, позволяющее находить пределы используя производные функций.
Правило Лопиталя имеет четыре варианта.
Правило 1. Пусть нам нужно вычислить предел 
и существует предел 
. Тогда исходный предел 
тоже существует и равен пределу 
.
Правило 2. Пусть нам нужно вычислить предел 
и существует предел 
. Тогда исходный предел тоже существует и равен пределу .
Правило 3. Пусть нам нужно вычислить предел 
и существует предел 
. Тогда исходный предел тоже существет и равен пределу .
Правило 4. Пусть нам нужно вычислить предел 
и существует предел 
. Тогда исходный предел тоже существует и равен пределу .
К применению правила Лопиталя следует относиться внимательно, и каждый раз проверять, что имеем дело с неопределенностями. Рассмотрим несколько примеров. Применение правила Лопиталя будем обозначать 
.
Пример 1 Найти предел
.
При подстановке
числитель и знаменатель обращаются в
, то есть мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Раскладывать числитель и знаменатель на множители, выделяя скобку
долго. Поэтому применим правило Лопиталя:
.
Пример 2 Найти предел
.
Здесь имеем неопределенность вида
. Забегая вперед отметим важное свойство функции
. При
эта функция стремится к бесконечности медленнее, чем любая степень числа
.
Пример 3 Найти предел
. Здесь имеем неопределенность вида
. Чтобы применить правило Лопиталя перейдем к логарифму этого выражения
.
Пример 4 Найти предел
. Имеем неопределенность
Пример 5 Найти предел
. Имеем неопределенность
. Применяем правило Лопиталя:
.
В двух последних примерах мы просто убирали множители стремящиеся к 
из под знака предела, применяя тем самым теорему о пределе произведения.
В некоторых примерах нужно правило Лопиталя применять не один раз. При этом при каждом применении правила Лопиталя нужно убеждаться, что мы имеем дело с неопределенностью.
Пример 6 Найти предел
. Судя по знаменателю, нам нужно будет применить правило Лопиталя три раза. Имеем:
.png)
.
