Примеры решения производных

Одной из задач дифференциального исчисления является нахождение производной заданной функции. Можно выделить три типа решений такой задачи.

1. Графическое нахождение производной

Как правило, задается график функции и конкретная точка. В ней проведена касательная. Требуется по рисунку найти производную функции в точке касания. Таки задачи встречаются в простейших примерах в ЕГЭ. Если такая касательная  проходит через два узла координатной сетки, то нужно взять (приращение функции) между этими узлами и поделить на  ( приращение аргумента). Это и будет угловой коэффициент касательной или производная функции в данной точке.

Пример 1.

Рассмотрим параболу  и на ней точку .

Требуется по чертежу определить производную функции в точке .

Касательная, как видно из чертежа, проходит еще через точку с координатами . Находим угловой коэффициент касательной. Вычисляем: . Следовательно, угловой коэффициент касательной равен . Итак, мы определили по чертежу производную функции в точке  и она равна 2.

2. Непосредственное нахождение производной

Как и первый тип задач о нахождении производной, такой способ не имеет особого практического значения, так как подразумевает, что мы будем искать производную по определению производной. Другими словами, мы не будем пользоваться таблицей производных простейших элементарных функций и правилами вывода, а просто вычислять соответствующий предел.

Пример 2 

Найти производную функции  используя определение производной. Вспомним определение производной функции  в точке . Функция  определенная в некоторой окрестности точки  имеет производную  в этой точке, если существует предел: .

Этот предел и равен производной функции  в точке .

Найдем этот предел для нашей функции: 

 

.

Конечно, если использовать правила нахождения производных и таблицу производных простейших элементарных функций, получится найти производную находится быстрее:

.

3. Нахождение производных с использованием таблицы и правил

Мы не будем приводить здесь таблицу производных и правила, просто вычисляя производные, будем указывать, что мы использовали.

Пример 3 

Найти производную функции: . Используем правило дифференцирования суммы функций, сложной функции, а также из таблицы производных воспользуемся производными арктангенса, логарифма и косинуса:

 .

Пример 4 

Найти производную функции: .

При вычислении этой производной используем правило дифференцирования дроби (частного), сложной функции, а так же табличные производные степенной функции и синуса:

 .

Пример 5 

Найти производную функции:. Используем правило дифференцирования произведения, сложной функции, а так же табличные производные показательной функции, степенной и арксинуса:

.

Кроме рассмотренных примеров, в некоторых случаях требуется искать производные параметрически заданных функций, неявных функций, обратных и степенно – показательных функций. Как их находить, смотри соответствующие разделы.