Производные основных элементарных функций
К основным или простейшим элементарным функциям относятся:
- степенные функции
, где
- произвольное действительное число
- тригонометрические функции
- показательная функция
- обратные к тригонометрическим функциям
- обратная к показательной функции
- гиперболические функции
и обратные к ним
Чтобы найти производную произвольной элементарной функции, то есть функции полученной из основных элементарных функций при помощи арифметических операций и сложной функции, используют таблицу производных основных функций и правила вывода. Сама таблица производных получается исходя из общей теории пределов, двух замечательных пределов и определения производной.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Пример 1 Покажем, например, как вывести формулу 4. Для этого используем 1-й замечательный предел:
и определение производной:
Пример 2 Производную показательной функции легко получить, используя следствие второго замечательного предела:
. Действительно:
Пример 3 Производные обратных тригонометрических функций и получаются, используя производные тригонометрических функций и производную обратной функции. Найдем, например, производную арктангенса:
Пример 4 Выведем производную логарифма:
Отсюда
Здесь мы воспользовались еще одним следствием второго замечательного предела
, а сам второй замечательный предел такой:
.
Пример 5 Производные гиперболических функций легко получаются из определения самих гиперболических функций
. Например:
.
