Расстояние от точки до плоскости

 Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, проведенного из точки на данную плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости равно нулю.

Определение основных понятий

Расстояние от точки до плоскости является одной из фундаментальных задач в геометрии и векторной алгебре. Эта задача имеет важное значение не только в теоретической математике, но и, например, в прикладных науках: физика, инженерия и компьютерная графика. 

🤔 Определение

Плоскость — одна из простейших фигур в геометрии. 

В реальной жизни плоскость — любая поверхность, которую вы видите каждый день вокруг себя: пол, стол и даже сиденье табуретки. Она имеет ограничение в размерах. В математике же его нет, и часто плоскость связывают с понятием «бесконечность».

Ученику в старших классах часто требуется решать задачи для вычисления расстояния от точки до плоскости, так как они присутствуют в экзаменах и обязательны для изучения в школьной программе.

🤔 Определение

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Теорема о расстоянии от точки до плоскости

🤔 Теорема

Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, проведенного из точки на данную плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости равно нулю.

Плоскость неотделима от других плоскостей, и часто их рассматривают вместе. Такая же ситуация с точками или прямыми. Поэтому принято запоминать несколько связанных с ними аксиом:

• На любой плоскости есть точки.
• Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.

Формулы для вычисления расстояния от точки до плоскости

Для вычисления расстояния от плоскости до заданной условиями задачи точки используют формулу Герона:

где d — искомое расстояние, а A, B, C, D — коэффициенты уравнения плоскости. 

В качестве альтернативы используется геометрический способ вычисления: определите положение перпендикуляра из точки на плоскость. Возможно, он выступает высотой в треугольнике, а иногда это и вовсе высота в пирамиде.

Далее для вычисления применяются геометрические теоремы.

Примеры решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости

Задача 1. Найти расстояние от точки A (2,3,4) до плоскости, заданной уравнением 2x+3y−z+5=0.

Решение:

Определяем уравнение плоскости: плоскость имеет вид 2x+3y−z+5=0, где A=2, B=3, C=−1, D=5 — коэффициенты уравнения плоскости.

Подставляем координаты точки в формулу для расстояния:

Задача 2. Найти расстояние от вершины пирамиды A (0,0,6) до ее основания — треугольника с вершинами в точках B (0,0,0), C (4,0,0), D (0,3,0).

Уравнение плоскости будет 12z=0, то есть плоскость — это z=0.

2. Находим расстояние от точки A (0,0,6) до плоскости z=0: Поскольку плоскость совпадает с осью z, расстояние от точки A до плоскости равно высоте точки по оси z, то есть 6.