В этой статье мы разберемся в теме дифференциальных уравнений на начальном уровне. Дадим определение дифференциальных уравнений, а также расскажем про четыре простых метода их решения.
Дифференциальные уравнения — это уравнения, которые описывают, как меняется какая-то величина в зависимости от других переменных. Они играют ключевую роль в математике, физике, инженерии и других областях науки. Для того чтобы понять, как работают дифференциальные уравнения, давайте рассмотрим простой пример.
Пример Представим себе, что мы изучаем рост популяции какого-то вида животных. Пусть P(t) обозначает количество особей этого вида в момент времени t. Мы замечаем, что скорость изменения численности популяции зависит от текущего размера популяции. Математически это можно выразить уравнением:
Здесь dP/dt обозначает скорость изменения популяции по времени, а k — некоторая константа, которая характеризует скорость роста популяции.
Решение дифференциальных уравнений — это нахождение функции P(t), которая удовлетворяет уравнению 
Давайте рассмотрим основные методы решения.
В этом методе мы пытаемся выразить все переменные в уравнении в терминах одной переменной и затем интегрируем обе стороны уравнения. Например, для уравнения 
мы можем разделить переменные: 
Затем интегрируем обе стороны:
Где C — произвольная постоянная интегрирования. Теперь мы можем найти Pt:
Пример Пусть изначально в популяции было 100 особей, и пусть коэффициент роста k = 0.1. Тогда из уравнения P(t)=Cekt мы можем найти C с помощью начального условия P(0) =100:
100=Ce0
C = 100
Таким образом, решение уравнения роста популяции будет:
P(t)=100e0.1t
Этот метод используется для решения линейных дифференциальных уравнений. Мы находим такую функцию, которая умножает уравнение и делает его точным дифференциалом.
Пример Нужно решить уравнение
Здесь мы видим линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Умножим обе стороны на функцию μ(x):
Теперь мы выбираем μ(x) так, чтобы левая сторона стала полным дифференциалом. После этого мы можем проинтегрировать обе стороны и найти решение.
Этот метод применяется к дифференциальным уравнениям, которые могут быть преобразованы в вид, удобный для применения формулы интегрирования по частям. Обычно это уравнения вида y' = f(x)g(x), где f(x) и g(x) - функции от x.
Пример Нужно решить уравнение y'=x · ex.
Мы можем применить формулу интегрирования по частям
к функции x · ex, разбив x и ex на две функции:
Теперь мы можем применить формулу:
Таким образом, мы нашли общее решение уравнения y' = x · ex.
Этот метод заключается в замене переменной в дифференциальном уравнении для приведения его к более простому виду.
Нужно решить уравнение 
Мы можем ввести новую переменную u = y -1, тогда u' = - y-2y'. Подставим это в уравнение:
Теперь это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое мы можем решить, например, методом интегрирующего множителя.
Дифференциальные уравнения широко используются в физике для моделирования движения тел, распада частиц и других физических процессов. Например, уравнения Ньютона описывают движение объектов в пространстве и времени.
Дифференциальные уравнения играют важную роль в инженерии, помогая проектировать и анализировать сложные системы, такие как электрические цепи, механические конструкции и тепловые процессы. Например, они используются для моделирования теплопередачи в инженерии.
Дифференциальные уравнения используются для моделирования биологических процессов, таких как рост популяции, динамика заболеваний и диффузия в клетках. Например, модель Лотки-Вольтерры описывает взаимодействие хищников и жертв в экосистеме.
В экономике дифференциальные уравнения могут использоваться для анализа динамики рынка, моделирования экономического роста и оценки оптимальных стратегий. Например, модель Солоу описывает экономический рост на основе накопления капитала и технического прогресса.
Дифференциальные уравнения являются мощным инструментом для моделирования и понимания различных процессов в науке и инженерии. Мы рассмотрели четыре основных метода их решения: методы разделения переменных, интегрирующего множителя, интегрирования по частям и замены переменной. Эти способы широко применяются и могут помочь в решении множества реальных задач.
