Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений 

в матричном виде:

 , где  .

Рассмотрим матричный метод решения систем. Ограничимся однородными системами. Пусть

однородная система. Находим корни характеристического уравнения

     .

Простому корню  характеристического уравнения соответствует решение , где - собственный вектор матрицы  соответствующий собственному значению . Для кратного корня, ситуация более сложная, чем при решении одного уравнения. В этом случае число линейно независимых решений системы может быть меньше кратности корня. Если пара собственных корней характеристического уравнения комплексно сопряженные, то и решения тоже комплексно сопряженные. Поэтому можно выделить пару действительных решений. Приведем несколько примеров.

Пример 1 Решить систему дифференциальных уравнений

 .

Составим характеристическое уравнение 

   

 Его корни . Находим собственные , отвечающие этим собственным значениям

 

 Следовательно, можно взять  и решение соответствующее первому собственному значению . Точно так же, находим собственный вектор отвечающий второму собственному значению:

Решение соответствующее второму собственному значению такое: .

 Наконец, находим третье решение:

 Таким образом, третий собственный вектор можно взять  и третье решение: .

Общее решение запишем в векторном виде: 

.

Пример 2 Решить систему дифференциальных уравнений .

Составляем характеристическое уравнение:

Поскольку система с вещественными коэффициентами, то можно найти решение соответствующее корню , а другое решение, соответствующее комплексно сопряженному корню будет комплексно сопряженным найденному.

Ищем собственные векторы:

.

 Второе уравнение системы не пишем, так как оно линейно зависимое с первым. Можем взять . Таким образом, решение такое: . Чтобы найти два вещественных решения, нужно взять действительную и мнимые части полученного комплексного решения

 

 

Таким образом, общее решение системы:   

 .