Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, формулы, примеры

Тригонометрия (в переводе – измеряю треугольник) – сфера в математике (в одно время называлось «гонометрией», что в переводе наука об измерении углов. В последнее время не используется). В переводе оно означает измерение треугольников. Возникло для решения практических задач в землемерии, строительном деле. В данном разделе можно освоить тригонометрические функции. Наука полезна при решении разнообразных задач в физике, машиностроении, океанографии, метеорологии, экономике, сейсмологии, картографии, компьютерной графике, геометрии, при инженерных расчетах. 

Тригонометрия была открыта после геометрии для целей астрономии. Она в своих расчетах позволяет использовать измерение углов фигур. Название науки возникло относительно недавно, однако правила и принципы использовались еще 2 тысячи лет назад. 

Первые шаги в поиске значений углов были положены астрономами Древней Греции Клавдием Атолемеем, Гиппархом.

Зависимость между сторонами и углами треугольников впервые была обнаружена астрономами Древней Греции во втором веке нашей эры. Позднее такую зависимость начали называть тригонометрические функции.

Заметка

Понятие впервые появилось в 1595 году в наименовании труда математика из Германии Бартоломеуса Питискуса. Наука использовалась еще в древности, помогала архитекторам, астрономам рассчитывать важные показатели. 

Первые таблицы были сформированы Гиппархом Никейским. Впервые именно он свел в единый вид значений хорд и дуг для серии углов.

Аналитическая теория в основном создана была в двенадцатом веке. Леонардом Эйлером. Он являлся членом Петербургской Академии наук. Ввел основные понятия тригонометрических функций, рассмотрел функции произвольных углов, вывел формулы приведения. После данных открытий доказательства в науке тригонометрии стали намного проще и компактнее. 

Весомый вклад в развитие тригонометрии также внесли выдающиеся астрономы: Николай Коперник, Иоган Кеплер, Франсуа Виет, Тихо Браге.

Синус

Понятие впервые было использовано в теории индийским математиком, астрономом Ариабхатом. Он определил точное понятие. В научных работах обозначил показатель, как ардха-джа. Прошло около 500 лет, и арабские математики начали называть «джайб» (в переводе «выпуклость»). Позднее европейцы дали название «синус». В переводе означает изгиб и кривизна.  

Определение

Синус – это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Понять, о чем это определение необходимо посмотреть на рисунок прямоугольного треугольника. 

По рисунку синусом угла А является деление ВС на АВ. 

Заметка

 Величины значений находятся в промежутке от -1 до 1.

Основные формулы

Формула сложения и разницы аргументов.

Косинус

Понятие начинает свое существование еще в четвертом веке и связано с именем астронома и математика из Индии. Термин является производным от синуса и возникло оно от выражения «синус дополнительной дуги». Математики уже в древности подмечали взаимозависимость между понятиями. 

Определение

Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Показатель представляет из себя коэффициент перевода наклонной в ее проекцию на какую-либо ось. 

Заметка 

Величины значений находятся в промежутке от -1 до 1.

Значение угла А в данном случае определяется как отношение СА на АВ.

Основные формулы

Формула сложения и разницы аргументов.

Тангенс

Впервые данный показатель был введен в десятом веке арабским ученым Абу-ль-Вафой. Им же была составлена таблица с основными значениями tg, ctg. Целью возникновения тригонометрической функции являлось решение практических задач, которые были связаны с изучением длины тени. 

Долгое время европейцам был неизвестен tg. Заново был открыт показатель лишь в 15 веке математиками из Германии. Математиком Региомонтаном были доказаны основные теории., составлены подробные функции тригонометрии.

Определение

Тангенс в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Зависимость между тригонометрическими функциями выглядит, как отношение синуса острого угла к косинусу.

Показатель значения А равняется делению ВС к СА.

Основные формулы

Формула сложения и разницы аргументов.

Котангенс

Ctg, как tg был введен в десятом веке арабским математиком Абу-ль-Вафой и Аль-Батани. В математик данное понятие определяется как тангенс дуги, дополняющий данную дугу.

Определение 

Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему либо найти значение можно с помощью деления косинуса на синус угла.

Котангенс угла ВАС равняется в данной ситуации отношению СА к ВС. Выражение помогает найти нужное значение, даже когда неизвестна градусная мера рассматриваемого угла прямоугольного треугольника.

Основные формулы

Формула сложения и разницы аргументов.

Таблица синусов и косинусов

Такой формат представления информации является достаточно полезным и мощным инструментом, который помогает решить большое количество разнообразных задач, заданий по математике, физике. Полезны также в практическом значении. 

Таблица основных показателей тригонометрических функций.

Нередко в задачах представлены углы, которых не найти в таблице выше, тогда на помощь приходит таблица Брадиса. В ней значения углов представлены с точностью до 4-х знаков после запятой. При этом нет надобности пользоваться вычислительными возможностям компьютера, телефона или инженерного калькулятора. 20- 30 лет назад такой формат был актуален, поскольку не были распространена техника для вычислений. Благодаря таблице математик свел к минимуму расчеты в задачах. 

Заметка 

Информация из истории. Владимир Модестович Брадис – педагог по математике СССР. Родился в 1890-м году в городе Пскове.  Фамилия эстонского или литовского происхождения. Являлся членом-корреспондентом АПН СССР. 

В школе Владимир учился на отлично, однако был исключен из стен учебного заведения, поскольку занимался распространением нелегальной литературы.

Впервые его знаменитая таблица была опубликована в 1921 году в пособии, которое носит название «Четырехзначные математические таблицы». Часть вычислений помогли выполнить его студенты. С того периода книга переиздавалась уже более 20 раз тиражами более 500 000 экземпляров. Они использовались и используются сейчас на занятиях по предметам: геометрия, алгебра, физика.

Книга была известна и популярна наравне с теоремой Пифагора. 

Книга была бестселлером.

В пособии можно найти много полезной для решения задач информации:

• мантиссы десятичных логарифмов,
• номограммы для решения отдельных уравнений,
• значения дробей,
• радианная мера,
• площадь круга определенного диаметра,
• квадратные корни,
• значения тригонометрических функций,
• кубы и квадраты чисел.

Пользоваться таблицей достаточно просто. Можно найти значения углов, представленных в градусной мере и минутах. Слева и справа в столбцах указаны углы, а в первой и последней строчках минуты. 

На пересечении нужного угла и минуты располагается нужное нам значение. 

Основное тригонометрическое тождество

Это такие равенства, которые устанавливают связь между sin, cos, ctg, tg. В таком случае мы понимаем, что значение неизвестной функции можно найти, когда мы знаем, чему равняется одна из этих функций. Его необходимо запомнить, для того чтобы оперативно решат задачи по математике, физике.

Тождество выражает в формате формулы теорему Пифагора. 

Первое выражение является основным тождеством, из которого были выведены остальные. Чаще всего тождество используется с целью упростить выражение. Сумму квадратов синуса и косинуса можно заменять числом 1. Также можно заменить единицу на сумму тригонометрических функций. 

4 и 5 тождества показывают взаимосвязь тангенса и котангенса с синусом и косинусом.

Свойства синуса, косинуса, тангенса

Одно из самых основных свойств функций – это свойство периодичности. Оно гласит о том, что тригонометрическое значение функции остается неизменным, если угол меняется на целое число оборотов. 

В реальности все так и получается. Когда угол меняется на целое число оборотов, то координаты в любом случае остаются без изменений. Когда используется данное свойство при решении задач? При нахождении значений тригонометрических функций больших углов с помощью формул приведения. 

Давайте рассмотрим пример:

Пример

 

Также часто используемое свойство при решении задач по физике и математике- правило противоположных углов. 

Рассмотрим пример:

Пример 

(1) Tg (-55˚)= - tg 55 ˚

(2) Cos (-65 ˚)=cos 65 ˚

Cвойство часто используется, для того чтобы избавиться от отрицательного угла в значении выражения.

В заданиях по математике нередко в самом тексте встречаются фразы: «угол находится в четвертой, третьей, второй или первой четверти.». Это говорит о том, в каком положении находится угол в единичной окружности. От этого зависит знак sin, cos, tg, ctg. 

Совет 

Важно знать и помнить! 

Синус в первой и во второй четверти имеет знак плюс, а в третьей и четвертой четвертях- минус.

Косинус в первой четверти и четвертой находятся под знаком плюс, а во второй и в третьей – минус. 

Тангенс в первой и третьей четвертях находятся под знаком плюс, а во втором и четвертом – минус. 

Котангенс в первой и четвертой четвертях имеют знак плюс, а во второй и четвертой – минус. 

Формулы суммы и разности синусов

Формула

Эти выражения позволяют перейти от суммы к произведению, что значительно упрощает выражение. Зачастую такие выражения называют формулами перевода из суммы в произведение. Они широко используются при решении задач.

Формулы суммы и разности косинусов

Формула

Выражения суммы и разности справедливы абсолютно для любых углов.

 

Формулы суммы и разности тангенсов

Формула

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму

Формула

Связь между острыми углами

Между тригонометрическими функциями острых углов тесная связь. В математика зависимость указывается с помощью формул. В данном случае благодаря формулам приведения, сложения, двойного угла, понижения степени и остальные. Их необходимо знать, иначе не получится прийти к положительному результату при решении математических задач. Тем более их знание пригодится вам при сдаче экзаменов.

Связь между синусом, косинусом и тангенсом

Формулы двойного и тройного аргумента

Формула

Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций

Функция в тригонометрии относится к четной, когда выполняется следующий вид равенства: f(-x)=f(x)

Нечетной она является при следующих условиях: f(-x)=-f(x)

Совет

Информация верна для любого множества значений «х».

Из информации выше мы получаем следующие данные:

• функция синус – нечетная,
• котангенс – нечетная,
• тангенс – нечетная,
• косинус – четная.

Значение функции можно определить по единичной окружности. Наименьший период составляет число П. 

Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента

Формулы с использованием половинного угла являются противоположными выражениям двойного угла. Они справедливы при х равной абсолютно любой градусной мере.

С правой стороны угол должен быть в 2 раза больше, чем в левой. Это основное условие, при котором равенство выполняется, является верным.

Правильное применение выражения обусловлено всегда знанием свойств. 

Угол поворота

Основная характерная черта угла поворота (для его обозначения зачастую используются греческие буквы) – его направление. По нему судят о том, в какую сторону совершается поворот относительно точки О окружности: по часовой стрелке или против.

Если угол равняется о, то значит точка находится на одном месте и не движется. Половина оборота не может равняться больше 180 градусов. Один оборот вокруг точки О (центр окружности) приравнивается к 360 градусам. 

Числа

Углы поворота измеримы. Выражаются они, как и в геометрии, в градусах и радианах. 

Важно! Выражаться может от минус бесконечности до плюс бесконечности. Если знак плюс, то значит направление поворота по часовой стрелке, если же минус, то значит против часовой стрелки.

Тригонометрия на координатной сетке

Нередко в математике задают решать задачи на координатной сетке. Для того чтобы решить такие задания достаточным является посмотреть, какие узлы сетки проходят через интересующие нас лучи. Какие дополнительные линии позволят нам выстроить фигуру, по которой мы сможем найти нужные нам значения. 

Решать такие задачи можно десятками разными способами. Это своего рода искусство, в котором можно экспериментировать и находить все новые и новые варианты поиска ответа.

Давайте рассмотрим пример решения одной из таких задачек в геометрии.

Пример

Дано:

На координатной сетке нам представлен следующий угол:

Нам необходимо найти котангенс угла АВС. Для этого нам необходимо создать прямой угол. Из точки А проведем перпендикуляр на прямую ВС. Смотрите на рисунке ниже:

Теперь перед нами прямоугольный треугольник АВС. Ctg=3:4=0,75

Ответ: 0,75