Сложная производная

Правило дифференцирования сложной функции является важным правилом для вычисления производных. Сложная функция это функция от функции: . При этом зависимость может быть и более сложной. Поэтому правило дифференцирования сложной функции иногда называют правилом цепочки. Правило дифференцирования сложной функции выражается следующей формулой:

Приведем несколько примеров. Сначала проведем дифференцирование цепочек состоящих из двух функций.

Пример 1 Найти производную сложной функции . Здесь функция , а функция . Используя правило дифференцирования сложной функции и таблицу производных находим:

.

Пример 2 Найти производную сложной функции . Здесь функция , а функция . Аналогично предыдущему примеру, используя правило дифференцирования сложной функции и таблицу производных находим:  

 .

Теперь приведем примеры дифференцирования более длинных цепочек.

Пример 3 Найти производную сложной функции . Здесь цепочка состоит из трех функций. Дифференцируем:

Пример 4 Найти производную сложной функции . Здесь цепочка состоит из пяти функций. Переход к дифференцированию следующей функции обозначен знаком :