Степень числа: определения, обозначение, примеры
Степени — это понятие, знакомое всем со времени средней школы. Однако далеко не все до конца понимают, что они означают, как и для чего применяются в алгебре, а также как их можно использовать. Чтобы разобраться детально в этом вопросе, нужно в первую очередь вывести определение понятию, узнать все про свойства степеней, детально проанализировать каждое из них. Далее разобраться со всем алгебраическими действиями, которые можно производить и попробовать совершить каждое из них на практике. Понять, какие есть варианты и нюансы, чтобы не путаться в них при дальнейших вычислениях.
Данная тема начинает изучаться в средней школе и продолжает встречаться плоть до ее окончания, а также после, если ученик поступит в профильное высшее учебное заведение. Не допускать в ней ошибок поможет данная статья, где детально будут разобраны все нюансы.
Понятие
Степенью значения a с натуральным показателем n называют результат, полученный после умножения a самого на себя n количество раз. В виде формулы вышесказанное можно записать так:
an=a∗a∗…∗a
Графически степень можно обозначить как an для простоты использования.
В качестве примера можно привести 4 в степени 8, где а=4, а n = 8. Так 48 по заданной формуле будет выглядеть как: 48=4*4*4*4*4*4*4*4
Результат в этом случае будет 2304.
Можно привести и ряд других примеров. Так:
- 25=322.
- 68=16796163.
- 57=781254.
- 93=7295.
- 35=243 и т.д.
Подбирать примеры можно до бесконечности. Алгебраические действия всегда проводятся по одному и тому же алгоритму.
Однако высчитывать все каждый раз сложно. Особенно в случаях с крупными значениями. Важно понимать, что в an можно возводить не только простые числа, но и любые другие. Для этого существуют специальные таблицы, речь о которых пойдет далее.
Также стоит сделать акцент на второй и третий степени. Обычно в этих случаях говорят «в квадрате» или «в кубе» соответственно. Однако обе формулировки уместны и не будут ошибочными.
Однако не стоит забывать, что функционал степеней гораздо шире, чем может показать при первичном ознакомлении с этой темой.
Свойства
У степеней есть определенные свойства. О них нужно поговорить подробнее, чтобы понять, что они собой представляют.
Всего существует пять свойств. А именно:
- произведение;
- частное;
- возведение степени в степень;
- возведение в степень произведения
- возведение в степень частного.
При каждой из них выполняется определенный алгоритм действий. О них стоит поговорить подробнее, чтобы понять, что они представляют собой.
Произведение
Если нам нужно перемножить два одинаковых значения с разными степенями, то нужно просто сложить их между собой, а число оставить без изменений.
В виде формулы это можно выразить следующим образом:
an * am = am+n
Если проиллюстрировать это реальным примером, то получится следующее:
42*43=42+3=45=1024
Или же:
53*55=53+5=58=390625
В этом случае следует помнить, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Частное
Это действие прямо противоположное предыдущему. Нам нужно разделить два одинаковых числа с разными степенями. В этой ситуации решение обратное: нужно вычесть один показатель из другого.
Графически это действие можно выразить как:
am/an=am-n
Если продемонстрировать решение на реальном примере, то получим:
64/62=64-2=62=36
Таким легким способом можно решить поставленную задачу.
Возведение степени в n
Если нам нужно возвести значение в n, а потом полученный результат еще раз в степень, то эту процедуру можно упростить, если перемножить их друг с другом. Само число, как и в предыдущих случаях, остается неизменным.
В виде формулы — это будет выглядеть так:
(an)m = an*m
В качестве реального примера:
(23)5=23*5=215= 32768
Зная формулу и умея применять ее на практике, можно найти верное решение.
Возведение в n произведения
Если нам нужно возвести в n произведение двух разных чисел, то мы должны возвести в указанное значение каждое из них, а затем перемножить между собой.
Это выражается такой формулой:
(a* b)n = an*bn
В виде конкретного примера это будет выглядеть следующим образом:
(2* 3)4 = 24*34=16*81=1296
Таблица
Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращенного умножения выглядят следующим образом:
.jpg)
Чтобы понять, как они работают, нужно разобрать каждую формулу на практике:
Разность квадратов:
42-32 = (4-3)*(4+3)=1*7=7
Если пересчитывать этот пример, возводя в квадрат каждый показатель, то получим тот же результат. Так можно себя проверить, если речь идет о несложных примерах. В случае с более серьезными заданиями, формулы сокращенного умножения являются спасением.
- Квадрат суммы двух чисел: (2+3)2=22+2*2*3+32=4+12+9=25
- Квадрат разности: (7-2)2=72-2*7*2+22=49-28+4=25
- Сумма кубов: 23+33=(2+3)*(22-2*3+32)=5*(4-6+9)=35
- Разность кубов: 33-23=(3-2)*(32+2*3+32)=1*(9+6+9)=24
- Куб суммы двух чисел: (3+4)3=33+3*32*4+3*3*42+43=27+108+144+64=343
- Куб разности: (6-3)3=63-3*62*3+3*6*32-33=216-324+162-9=27
При знании формул и умении им пользоваться можно сэкономить время.
С целым показателем
В показателях n могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения. Сюда же входят и отрицательные, и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел. Это несколько усложняет задачу, однако важно научиться работать с этими случаями.
Число в нулевой степени всегда обозначает единице. Если нужно умножить показатель в любой n на значение в нулевой (аm*a0), в этом случае возводим первое число в указанную n без излишних математических действий. Как уже выяснили из приведенных выше формул, степени суммируются между собой, а не складываются, поэтому нет никакого смысла прибавлять ноль.
С рациональным показателем
Во множество рациональных чисел входят как целые, так и дробные, при этом последние можно представить, как обыкновенные дроби (положительные или отрицательные). Чтобы показать работу на примере, нужно найти a с дробным показателем m/n, где n – натуральное, а m – целое.
Представим значение am/n. Для того чтобы вычислить равенство (am/n)n , нужно аm/n*n. Соответственно, в итоге получим аm. Если учесть полученное равенство [am/n]n = am и то, как мы определили корень n, то логично принять a n/m = n √am при условии, что при данных m, n и a выражение n √am имеет смысл.
Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие.
С иррациональным и действительным показателем
Известно, что множество действительных чисел можно рассматривать как объединение множеств рациональных и иррациональных. Поэтому an с действительным показателем можно будет считать определенной, когда будут определены an с рациональным и иррациональным показателем.
Степень положительного числа an с иррациональным показателем a записывается как aa. Его значение — это предел последовательности a0, a1, a2, … где a0, a1, a2 последовательные десятичные приближения иррационального a. X² с нулевым основанием определяются и для положительных иррациональных показателей, при этом 0a=0. Это правило иллюстрирует пример:
06=0,03√21/3=0. А для отрицательных чисел этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0−√5 или 0−2π0-5 не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1√2 или 1-5 все равно будут равны 1.
Последовательности рациональных чисел a0, a1, a2… соответствует последовательность aa0, aa1, aa2. В качестве примера возьмем 3, a=1,67175331 и a0=1.67, a1=1,6717, a2=1,671753…, тогда aa0=31,67, aa1=31,6717, aa2=31,671753…
Наконец, последовательность aa0, aa1, aa2, … сходится к числу, которое и является значением степени a с иррациональным показателем. Вернемся к нашему примеру: an с иррациональным показателем 3 1,67175331 сходится к результату, который с точностью до сотых равно 6,27.
an нуля определяется для положительных иррациональных показателей, при этом 0a=0 . А степень 0 с отрицательным иррациональным показателем не определяется. Отдельно стоит сказать про иррациональную степень единицы – она всегда равна 1.
Сложение и вычитание степеней
Основные принципы сложения и вычитание одинаковых чисел, возведенных в n, уже были продемонстрированы выше. Для этого нужно просто вычесть их или сложить, само значение при этом остается неизменным.
Совершенно по-другому обстоит дело, если речь идет о разных числах, которые надо сложить друг с другом или вычесть второе из первого.
В этом случае каждое из них нужно возвести в указанную an и лишь потом совершать заданные арифметические действия.
Чтобы продемонстрировать это, можно привести конкретные примеры:
24+32=16+9=25
73-42=343-16=327
Так мы получаем готовые решения. Никакие способы упростить эту задачу не предусмотрены.
Деление и умножение степеней с одинаковыми показателями
Если нужно перемножить два числа, возведенных в одну и ту же n, то это делается следующим образом:
an*bn = (a* b)n
Если приводить пример, то выйдет, что:
42*32=(4*3)2=122=144
С делением все обстоит аналогичным образом:
an/bn = (a/b)n
Или:
42/22=(4/2)2=22=4.
