Введем понятие одночлена и многочлена.
Одночленом мы назовем произведение чисел и переменных, например: 
.
Стандартным видом одночлена назовем такое представление этого одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель, а далее идут степени переменных.
Пример 1 Найти стандартный вид одночлена
Используя определение степени и коммутативность умножения находим:
.
Многочленом называется сумма одночленов.
Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами.
Приведем пример многочлена: 
.
Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называется приведением подобных членов.
Многочлен имеет стандартный вид, если каждый его член имеет стандартный вид, и у многочлена нет подобных членов.
Пример 2 Приведем многочлен
к стандартному виду. Здесь подобные члены первый с четвертым, а так же второй с пятым. Оформим это приведение подобных членов:
.
Как провести сложение многочленов? Нужно записать оба многочлена в скобках, а затем просто скобки убрать и привести подобные члены. Поясним это на примере:
Пример 3 Сложить многочлены:
и
. Складываем:
.
Чтобы провести вычитание многочленов нужно раскрыть скобки перед вторым многочленом. Перед скобкой стоит знак минус. Мы убираем скобки, а члены в той скобке, перед которой был знак минус, берем с обратными знаками. Покажем на примере:
Пример 4 Найти разность многочленов
, где
и
. Имеем:
.
Определим умножение многочленов. Сначала определим умножение многочлена на одночлен.
Правило простое: чтобы умножить одночлен на многочлен нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения.
Пример 5 Найти произведение одночлена
на многочлен
. Имеем:
.
Пусть теперь нам нужно один многочлен умножить на другой многочлен. Здесь можно представить умножение в два этапа (так обычно на практике и поступают). Мы считаем один из многочленов одночленом и умножаем его на все члены другого многочлена, а затем, в свою очередь, имея несколько произведений одночленов на многочлен, опять производим умножение одночленов на многочлен. Приведем пример.
Пример 6 Найти произведение многочленов
и
. Согласно предложенному алгоритму имеем:
.
Как происходит практически умножение перемножение многочленов? Фиксируют внимание на первом одночлене первого многочлена (можно под ним поместить палец) и умножают его на другой многочлен. Затем берут второй одночлен, умножают его и так далее. Нужно быть очень внимательным: не забыть ни одного умножения и конечно не терять знаки. Это быстрый способ и при отсутствии достаточной сноровки часто ведет к ошибкам. Продемонстрируем оба этих способа на примере.
Пример 7 Найти произведение многочленов
и
.
Медленно:
.png)
.
Быстро:
.
Если вы только научились умножать многочлены, то следует действовать медленным способом. По крайней мере, при медленном способе легче искать ошибки.
В некоторых случаях, для упрощения выкладок объединяют группы одночленов и используют формулы сокращенного умножения.
Пример 8 Найти произведение многочленов
.
Сгруппируем члены следующим образом
и применим формулу разности квадратов. Получим:
.
Если скобок несколько, например, три, то, можно, используя ассоциативность умножения, умножить сначала первую скобку на вторую, а затем, результат этого умножения умножить на третью скобку.
Пример 9 Найти произведение многочленов
.
Перемножим первую и вторую скобки, затем соберем в них подобные члены, а уж затем умножим то, что получилось на третью скобку:
Последним действием мы привели подобные члены.
