Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры

При прохождении школьной программы обучения по математике (алгебра), а также в профильных заведениях столкнутся с таким пониманием как степень. Тема не чрезмерно сложная, однако от ученика требуется детально разобраться в том, что такое степень и каким образом проводятся математические вычисления, рассмотреть доказанные свойства и пр.

Если тема будет изучена детально, можно решать задания на удовлетворительные оценки.

Важно: Степень может быть натуральной и цельной, рациональной и иррациональной, и вариант решения и свойства подбираются на основании разновидности. Каждая имеет особенности и отличающиеся свойства, с которыми надо ознакомиться.

Свойства степени с натуральным показателем

Первое, что предстоит изучить в степени – это вариации с цельными показателями, которые встречаются и считаются несложным. Степень с натуральным показателем – это произведение n количества чисел, каждое из которых равняется a, то есть первоначально заданному числу. При изучении темы рекомендуется вспомнить о том, как производиться перемножение действительных чисел – так можно будет сформулировать главные моменты.

Иначе можно изучить уже готовое определение:

Определение 1:

1. Главное свойство степени: a^m⋅aⁿ=a^m+n

Можно обобщить до: 

aⁿ¹⋅aⁿ²⋅…⋅a^nk=a^n1+n2+…+nk.

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: a^m:aⁿ=a^m−n 

3. Свойство степени произведения: (a⋅b)ⁿ=aⁿ⋅bⁿ

Равенство можно расширить до: (a₁⋅a₂⋅…⋅a_k)ⁿ=a1ⁿ⋅a2ⁿ⋅…⋅a_kⁿ   

4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ  

5. Возводим степень в степень: (a^m)ⁿ=a^m⋅n,

Можно обобщить до:

(((aⁿ1)ⁿ₂)…)ⁿ_k=a^{n1⋅n2⋅…⋅nk}

6. Сравниваем степень с нулем:

• если a>0, то при любом натуральном n, aⁿ будет больше нуля;
• при a, равном 0, aⁿ также будет равна нулю;
• при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2⋅m, a^2⋅m будет больше нуля;
• при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2⋅m−1, a^2⋅m−1 будет меньше нуля.

7. Равенство aⁿn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство a^m>aⁿ будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы. 

Получается несколько выражений, которые, в случае соблюдения указанных выше условий и требований, оказываются тождественными. Первое, что нужно изучить в степени, — это вариации полного показателя степени, несложные. Показатель с натуральным показателем - это произведение n чисел, каждое из которых равно a, т. е. исходно заданному числу. Каждая вариация допуска замену правого и левого множителя без изменения результата.

Важно: Не все степени могут упрощаться перестановкой – иногда это приведет к получению неверного ответа. Замена допустимо только для рассматриваемой ситуации.

После понимания главной мысли рекомендуется подробнее рассмотреть каждое свойство, а также доказательную базу к ним.

Первое свойство степени говорит о том, что сложение степеней при равном основании будет верным при любых указанных значениях.

На основании определений можно провести преобразование, которое позволит доказать следующее равенство:

На основании приведенного преобразования может заметить соответствие высказывания истине. Стоит также рассмотреть его на наглядном примере:

Пример

Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели - 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 2²⋅2³=2²⁺³=2⁵ Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: 2²⋅2³=(2⋅2)⋅(2⋅2⋅2)=4⋅8=32 и 2⁵=2⋅2⋅2⋅2⋅2=32

В итоге у нас вышло: 2²⋅2³=2⁵. Свойство доказано.

Второе свойство частного, говорящее о том, при степени в случае деления равных оснований просто вычитаются, при условии того, что первая степень оказывается больше второй.

Важно: Основание не может быть нулевым при решении примера. Будет осуществлено деление на ноль, что противоречит устоявшимся нормам проведения математических вычислений.

Рассмотрите доказательства и примеры, на основании которых обучающийся сможет понять принцип проведения вычислений примеров:

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π⁵:π²=π⁵⁻³=π³

Третье свойство степени. Степень произведения может быть преобразовано в произведение отличающихся оснований с равным показателем степени. Основания бывают различные, а степень – натуральной.

Пример

Четвертое свойство степени. Частное степени двух чисел может быть представлено как частное различных оснований с равной степенью. При этом рассчитываться могут исключительно числа, отличающиеся от нулевого показателя.

Подсчитаем пример:

Пятое свойство степени. При возведении степени в степень производится их перемножение.

Начнем сразу с примера: (5²)³=5^2⋅3=5⁶

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

Шестое свойство степени. Для проведения сравнений требуется осуществление вычислений или иной доказательной базы, на основании которой можно будет утверждать, что одно представленное выражение оказывается больше или меньше второго. Для завершения рассуждения и понимания иррациональности стоит сформулировать краткое определение, основанное на изученных и подробно рассмотренных свойствах, которые оказываются справедливыми для остальных нерассмотренных примеров. Только после сравнения устанавливается знак равенства.

Пример

Например, (−6)⁴>0, (−2,2)¹²>0 и (−2/9)⁶>

А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2⋅m−1.

Тогда

Все произведения a⋅a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.

Тогда получим: (−5)³<0, (−0,003)¹⁷<0 и 

Седьмое свойство степени. При равности показателей определяется на основании основного числа, то есть сравнение осуществляется без вычислений и проведения иных сложных действий.

Например, верны неравенства: 

Основные свойства степеней с целыми показателями

Если нужны расчеты на основании примеров, в которых присутствует цельные числа – никаких особенностей относительно тех, что были рассмотрены ранее – не будет. То есть ученику достаточно будет качественно выучить натуральный раздел, и вся представленная в нем информация. Вся доказательная база, разбираемая ранее, также соответствует стандартам и требованиям и может применяться и тут. Можно будет самостоятельно дополнительно провести расчет и сравнения, однако надобность в этом – отсутствует.

Важная информация! Все описанные ранее утверждения допустимы к использованию и в ситуациях, когда рассматриваются отрицательные или равные нулю примеры, за исключением тех, где подобное не допускается на основании общеустановленных математических правил. Не допускается соответствие оснований нулевому значению, так как проведение вычислений не будет иметь значения вследствие получения нулевого показателя.

1. a^m⋅aⁿ=a^m+n 

2. a^m:aⁿ=a^m−n

3. (a⋅b)ⁿ=aⁿ⋅bⁿ

4. (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ

5. (a^m)ⁿ=a^m⋅n 

6. aⁿn и a−n>b⁻ⁿ при условии целого положительного n, положительных a и b, a

7. a^mn, при условии целых m и n, m>n и 01   a^m>aⁿ. 

Если а и б равняются нулевому значению, то допустимо записывание выражение исключительно в ситуации, когда м и н отличны от нулевого значения. Получается, что нулевые показатели допустимы лишь в случае соблюдения иных установленных условий записи.

Проведение доказательств в разбираемой ситуации не требует нескольких часов или затрат усилий – процесс простой, последовательный. Необходимо будет вспомнить определение с натуральной величиной, после этого правила проведения расчетов с участием действительных чисел.

Рассматривая вариант решения задания, в котором представлена степень в степени, можно будет понять, что свойство оказывается действительным для всех целых положительных, отрицательных выражений.

Важно: Должно соблюдаться условие, на основании которого р равняется нулю или же оказывается натуральным, кью аналогично.

Если число больше нуля, то просто производится их перемножение. Но если показатель, расположенный внутри скобки, оказывается нулевым, то расчеты проводятся иным образом:

Получается, что в данном случае умножение производится так:

Если показатель, расположенный за пределами скобки, оказывается равным нулю, то вычисления проводятся тем же образом, что был рассмотрен выше, то есть аналогично без дополнительных преобразований.

Дополнительная информация! В случае, если обе оказываются нулевыми – проведение расчетов не важно, так как итоговый ответ будет равняться единице.

Еще одна ситуация, требующая внимания со стороны ученика – появление минуса. Последовательность шагов при решении задания значительно меняется, поскольку требуется применения дробных выражений:

Прочие свойства доказываются аналогичными способами, по сравнению с теми, что были представлены. Ученик может составить доказательную базу, на основании которой можно будет проследить соответствие утверждений действительности. Да, в отдельных ситуациях процесс решения математических уравнений оказывается сложнее, требует концентрации и внимательности, однако при использовании примера – вероятность получения верного ответа оказывается высокой.

Важно: Если выполняется сравнение выражений с отрицательными степенями – больше будет то, в котором основание оказывается меньше. Для избавления от отрицательного знака требуется произвести преобразование в дробное выражение, при котором в числителе записывается единица, а в основании а и б соответственно (получается 2 дроби). Меньшим оказывается то, где знаменатель больше, описанное выражение оказывается верным.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

Решение задач, в которых представлены рациональные показатели, потребует уже больше времени, знаний, так как дробные выражения перед проведением действий должны преобразовываться на основании установленных правил. Если ученик не осуществит преобразование – возможности достичь верного результата – не будет, предварительно требуется рассмотреть новое определение, и только после него выстраивать верную последовательность действий.

Определение 2:

1. a^m1/n1⋅a^m2/n2=a^m1/n1+m2/n2 при a>0, а если m1/n1>0 и m2/n2>0, то при a≥0 (свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

2.a^m1/n1:b^m2/n2=a^m1/n1−m2n2, если a>0 (свойство частного).

3. (a⋅b)^m/n=a^m/n⋅b^m/n при a>0 и b>0, а если m1/n1>0 и m2/n2>0, то при a≥0 и (или) b≥0 (свойство произведения в дробной степени).

4. (a:b)^m/n=a^m/n:b^m/n при a>0 и b>0, а если m/n>0, то при a≥0 и b>0 (свойство частного в дробной степени).

5.  то при a≥0 (свойство степени в степени).

6. a^pp при условии любых положительных a и b, a0; если p<0 - a^p>b^p (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

7. a^pq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0 0– a^p>a^q

Доказательства – важный, сложный процесс, который может потребоваться как для проверки собственных знаний, так и для доказывания преподавателю, что все предоставленные задания были решены самостоятельно. Вне зависимости от того, почему потребовалось составление доказательства, важно помнить определение дробного вида, а также ключевые правила, применяемые для корня установленной модели арифметического типа. Конечно, потребуются все перечисленные, рассмотренные знания, так как по мере усложнения материала производится добавление новой информации, на основании которой обучающийся рассматривает новую представленную тему, начинает реализацию расчетов.

Если надо осуществить решение соответствующего примера, в котором присутствует рациональность, первое – проведение преобразования, на основании которого можно будет поводить последующие шаги. Оно выглядит так:

На основании свойства корня проводятся преобразования следующего плана:

Описанная последовательность действий считается полноценным доказательством действительности рассматриваемого утверждения, применяемое в школах, в средне-специальных и высших заведениях при рассмотрении темы. Чтобы провести второе доказательство, также составляется последовательная цепочка действий, которая выглядит так:

Доказательства, применяемые для оставшихся равенств, могут быть выведены самостоятельно по тому же принципу, который использовался ранее.

Совет: Самостоятельное выведение позволит лучше разобраться в теме и понять, как проводятся преобразования, куда правильно переставлять показатели, надо ли использование дополнительных формул и пр.

Однако в случае, если по какой-то причине самостоятельно вычислить оставшиеся выражения – не получается, или же требуется срочное рассмотрение доказательств для преподавателя – можно взять готовые варианты, представленными далее:

Момент, который может потребовать присутствия доказательной базы – утверждение, на основании которого любое а оказывается меньше б (при условии что а меньше б при сравнении непосредственно чисел без знаменателей), при условии, что р – равное, имеет показатель больше нуля. Но а становится больше б в ситуации, когда р оказывается меньше нулевого значения, то есть оказывается отрицательным.

Представим рациональное число p как m/n. При этом m–целое число, n–натуральное. Тогда условия p<0 и p>0 будут распространяться на m<0 и m>0. При m>0 и amm.

Используем свойство корней и выведем: ⁿ√a^m<ⁿ√b^m

Учитывая положительность значений a и b, перепишем неравенство как a^m/nm/n. Оно эквивалентно a^pp.

Таким же образом при m<0 имеем a a^m>b^m, получаем ⁿ√a^m>ⁿ√b^m значит, a^m/n>b^m/n и a^p>b^p.

И последний момент, требующий внимание при разборе тематики – утверждение, на основании которого р оказывается больше кью при условии, что а больше нуля, но меньше 1 и а в степени р меньше а в степень кью, а если а оказывается положительным – а непосредственно в р оказывается больше вариации с кью.

Свойства степеней с иррациональными показателями

Иррациональность – математическое понятие, встречающееся с начальной школы. Каждый обучающийся обязан знать, что такое иррациональные числа. Отсюда вывод, что описанное ранее соответствует иррациональным примерам, от ученика не потребуется изучать новые сведения и разбирать сложные примеры относительно решения задач в алгебре.

Каждое определение имеет собственную формулировку, которая должна быть знакома человеку для верного осуществления алгебраических действий. Если знаний будет недостаточно – решение не будет удовлетворительным, оценка будет негативной.

Для завершения темы и понимания иррациональности стоит сформировать краткое определение на основании усвоенных и подробно рассмотренных ранее свойств, которые оказываются действительными и для оставшихся не рассмотренных примеров. Они выглядит так:

Определение 3:

1. a^p⋅a^q=a^p+q  

2. a^p:a^q=a^p−q 

3. (a⋅b)^p=a^p⋅b^p

4. (a:b)^p=a^p:b^p 

5. (a^p)^q=a^p⋅q

6. a^pp верно при любых положительных a и b, если abp 

7. a^pq верно, если p и q– иррациональные числа, p0, то a^p>a^q.

Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a>0 обладают теми же свойствами.