Таблица первообразных

Опубликовано: 22 Августа 2020 года

Автор(ы) статьи: Святослав Белинский, к. ф.-м. н.

Из курса школьной математики нам известно понятие первообразной и неопределенного интеграла. Тем не менее, повторим эти понятия ввиду их важности.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке может быть , а конец может быть . Функция называется первообразной функции или просто первообразной, если для всех . Нетрудно показать, что совокупность всех первообразных данной функции есть множество функций , где - произвольная первообразная данной функции .. При этом конец

Эта совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от функции

и обозначается так:

Как и при дифференцировании, мы имеем таблицу первообразных для самых основных и наиболее часто встречаемых функций.

Некоторые формулы следуют непосредственно из таблицы производных, остальные можно просто проверить дифференцированием. Отметим, что, будучи действием обратным по отношению к дифференцированию, неопределенное интегрирование гораздо сложнее. Этому способствует так же отсутствие в правилах интегрирования формул для интегрирования произведения и частного. Несмотря на наличие некоторых дополнительных приемов, найти неопределенный интеграл в виде элементарной функции не всегда удается. Можно привести примеры некоторых функций, довольно простых на вид, для которых неопределенный интеграл в конечном виде не берется. Вот несколько таких функций:

Здесь перечислены самые простые на вид функции, не имеющие первообразной в виде элементарной функции. Такие интегралы в просторечье называются не берущимися. Как же определить, берется интеграл или нет?

Во-первых, если вам дали интеграл в контрольной работе или в другом задании, то, скорее всего, он берется. Если в процессе вычисления интеграла вы получили интеграл, который не берется, то исходный интеграл тоже не брался. А что же делать, если интеграл не берется? Здесь можно попытаться разложить подынтегральную функцию в ряд и полученный ряд почленно проинтегрировать. А если вам нужно найти определенный интеграл от этой функции то существуют компьютерные программы, которые вычислят ваш интеграл с любой точностью.

Приведем несколько примеров применения таблицы и простейших правил интегрирования. К ним мы отнесем следующие два правила:

Пример 1 Найти интеграл:

Используем оба правила, а так же табличные формулы 1. и 9.:

Пример 2 Найти интеграл:

Имеем:

Здесь мы использовали оба правила интегрирования, а так же табличные интегралы 1., 8. и 15.

Формула 1 здесь использовалась для