Пусть задана функция .png){kind=small}
в некоторой области 
комплексной плоскости .png){kind=small}
.
Мы скажем, что функция .png){kind=small}
дифференцируема в точке .png){kind=small}
, если существует предел
.png){kind=small}
.
Этот предел называется производной функции в точке и обозначается .png){kind=small}
. Найдем необходимые условия дифференцируемости функции в точке . Воспользуемся тем, что если производная существует, то предел можно находить по любому направлению. Пусть сначала .png){kind=small}
, тогда
.png)
.png)
С другой стороны, возьмем .png){kind=small}
, тогда
.png)
.png)
.
Поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда. Когда равны их действительные и мнимые части, то из равенства
.png){kind=small}
Получаем условия Коши — Римана:
.png)
Условия Коши — Римана были получены нами как необходимые условия для существования производной в точке . Оказывается, что если потребовать дополнительно, чтобы функции .png){kind=small}
и .png){kind=small}
были дифференцируемы в точке , то условия Коши — Римана являются достаточными для существования производной в точке .
Пример 1 Проверить выполнение условий Коши — Римана для функции
Имеем:
. Здесь
. Проверяем оба условия:
Поскольку действительная часть
и
. то функция всюду дифференцируема.
Пример 2 Показать, что функция
дифференцируема на всей комплексной плоскости. Заметим, что действительная и мнимая части функции
и
дифференцируемы. Проверяем условия Коши — Римана:
Оба условия выполняются, следовательно, функция дифференцируема для всех
Пример 3 Показать, что функция
нигде не дифференцируема. У нашей функции
. Уже первое условие
не выполняется:
. Поскольку первое условие нигде не выполняется, то функция
.png)
