Средняя выборка: генеральная, выборочная

При написании этой статьи у нашей команды из копирайтера, редактора, контент-менеджера и эксперта в области статистики ушло 20 человеко-часов.

Что такое генеральная средняя

🤔 Определение

Средняя — один из важнейших показателей в статистике, используемый для обобщения данных и анализа тенденций.

В зависимости от типа данных и целей исследования, можно рассчитывать два вида средних значений: генеральную и выборочную средние. Эти показатели используются для анализа больших массивов данных, оценки их свойств и прогнозирования. 

🤔 Определение

Генеральная средняя— это среднее значение, рассчитанное по всей генеральной совокупности данных.

Генеральной совокупностью называют весь объем данных или объектов, которые рассматриваются в рамках исследования. Этот показатель отражает среднюю характеристику всех элементов генеральной совокупности и часто обозначается как μ (мю).

Формула расчета генеральной средней выглядит следующим образом:

где:

•  — сумма всех значений в генеральной совокупности;
•  — общее количество элементов в генеральной совокупности.

Пример использования генеральной средней: если мы хотим знать средний рост всех студентов в университете, то для точного значения нужно измерить рост каждого студента. Генеральная средняя в данном случае будет представлять средний рост для всех студентов, и она абсолютно точна для всей совокупности.

Что такое выборочная средняя

Выборочная средняя — это среднее значение, рассчитанное по подмножеству генеральной совокупности, которое называется выборкой. Так как выборка является лишь частью всей совокупности, выборочная средняя используется для оценки генеральной средней. Этот показатель часто обозначается как .

Формула расчета выборочной средней:

где:

• — сумма значений в выборке;
  
•  — количество элементов в выборке.
  

Пример применения выборочной средней: если нас интересует средний рост всех студентов университета, но невозможно опросить каждого, мы можем взять случайную выборку из 100 студентов и вычислить средний рост в этой выборке. Полученное значение будет приближением к средней по всей совокупности.

Различия между генеральной и выборочной средними

Основные различия между генеральной и выборочной средними заключаются в их использовании и точности. Генеральная средняя — это точное значение для всей совокупности, в то время как выборочная средняя — это оценка, которая может варьироваться в зависимости от объема и состава выборки.

• Точность. Генеральная средняя точно описывает данные по всей совокупности, тогда как выборочная средняя зависит от объема выборки — чем больше выборка, тем точнее выборочная средняя отражает генеральную.
• Применение. Генеральную среднюю используют, когда есть доступ ко всем данным совокупности, в то время как выборочная средняя удобна, когда исследование всей совокупности невозможно или требует слишком много времени.
• Оценка генеральной средней. В исследованиях выборочная средняя часто используется для оценки генеральной средней, особенно при большом объеме генеральной совокупности.

Методы расчета и оценка точности выборочной средней

Выборочную среднюю можно рассчитывать разными методами в зависимости от того, как была сформирована выборка. Один из самых распространенных методов — простой средний расчет на случайной выборке, но в некоторых случаях используются стратифицированные и кластерные выборки, чтобы учесть неоднородность данных.

Для оценки точности выборочной средней применяются стандартная ошибка и доверительные интервалы. Стандартная ошибка показывает, насколько выборочная средняя может отклоняться от генеральной, и рассчитывается по формуле:

где:

• — стандартное отклонение генеральной совокупности;
•  — размер выборки.

✏ Заметка

Доверительный интервал указывает диапазон, в котором с определенной вероятностью находится истинная генеральная средняя. Чем больше размер выборки, тем уже доверительный интервал и тем точнее выборочная средняя.

Примеры использования генеральной и выборочной средних

В реальной практике часто невозможно собрать данные по всей совокупности, и тогда выборочная средняя становится незаменимым инструментом. Например, для оценки среднего дохода населения страны сложно опросить каждого жителя, и выборочная средняя, полученная из выборки, становится наилучшей оценкой.

В науке выборочная средняя часто применяется для оценки характеристик больших популяций, например, при исследованиях в социологии, медицине и экономике. Использование выборки позволяет сделать обоснованные выводы, даже если исследование проводится на ограниченном количестве данных.

Генеральная и выборочная средние — два фундаментальных показателя в статистике, которые помогают анализировать данные, делать выводы и прогнозировать. Генеральная средняя точно описывает всю совокупность, в то время как выборочная служит ее приближением. Правильное понимание и применение этих понятий позволяют эффективно решать задачи анализа данных и получать точные и обоснованные результаты.