Ранг матрицы: понятие линейной алгебры, способы вычисления

Ранг Матрицы

Определение №1 Ранг матрицы является элементом в линейной алгебре, отражающий максимальное значение линейно независимых строк и столбцов. Критерий определяет количество компонентов, не вносят лишнюю информацию, влияют на объем, размерность таблицы.

Значение независимых строк обозначается ρ(A), определяется как верхняя граница, не превышающая число строк. Для таблицы размером 3x3 максимально значением является три. Если значение строки пропорциональны 0, линейной независимости нет, пропорционально 0.

Количество столбцов, состоящих исключительно из 0, называется обнулением. Отражает размерность пространства, состоящего из векторов с нулевыми компонентами. Общая величина столбцов пропорциональны сумме обнуления, степени линейной независимости.

Если мы рассмотрим таблицу с 3 столбцами, из которых 2 состоят исключительно из 0, то обнуление будет соответствовать 2. Пространство, возникающее при линейном сочетании столбцов, будет двухмерным, так как один столбец будет линейно независимым, а два других — нет. В таком случае, линейное независимости будет соответствовать одному, что соответствует максимально возможному значению для таблицы размером 3x3.

Как определить ранг матрицы: примеры

Для определения существуют две методики:

1. Метод «окаймления», опирается на вычисление определителей.
2. Метод, основанный на применении трансформационных методов.

В рамках метода «окаймления» выполняются:

1. Когда компоненты ранга 1 пропорциональны 0, степень будет соответствовать 0.
2. Если среди минорного ранга 1 найдется ненулевой компонент, будет соответствовать 1, при условии, что определитель 2 совпадают с 0.
3. В случае обнаружения значения 2-го порядка, отличного от 0, переходим к анализу значений 3-го порядка. Процесс начинается с оценки порядка k, проверяем k+1 на наличие ненулевого значения. Когда k+1=0, ранг установлен пропорциональным k.

Для работы необходимо уметь определить количество строк, столбцов в исходной таблице A:

50 — 30 2 70 — 40 3 20 — 10 1 

Поскольку матрица имеет размеры 3x5, и наименьшее значение среди элементов составляет 3, это указывает на то, что значение A не может превышать 3. Это обусловлено невозможностью сформировать значения четвертого порядка из данной таблицы, поскольку их количество ограничено.

В приведенном примере среди значений первого порядка можно найти элементы, отличные от нуля. Чтобы перейти к анализу значений второго порядка, достаточно, чтобы один из них оказался ненулевым. 

Из миноров второго порядка 5 0 7 0  = 0, переходим к следующему минору.

Очевидно, что 7 0 2 0   будет равен 0.

5 2 7 3  не будет равен 0. Вычислим: 5*3 — 7*2 = 1.

Обнаружили минор второй степени, не пропорциональны 0, переключаемся на вычисление третьей степени. Выберем значение третьего порядка без 0:

5 — 3 2 -7 — 4 3 2 — 1 1 

Выполним расчет: — 20 — 18 — 14 + 16 + 21 + 16 = 0. Результат соответствует 0. Исследуя третьего порядка отличного от 0. Таблица A составляет 2.

Ответ: A = 2

Применение техники, связанной с анализом миноров, находящихся на границе, способствует сокращению объема вычислительных операций.

Для определения порядка размером p*n необходимо провести последовательность действий:

1. Проанализируем миноры первого порядка. Если они равны 0, ранг будет равен 0. В противном случае, когда один показатель отличается от 0, переходим к следующему этапу;
2. Проверим миноры, окружающие M1. Если они окажутся нулевыми, то ранг равен 1. Если найдется ненулевой минор, ранг будет равен 2 или будет превышать его;
3. Изучим миноры вокруг M2, у которых порядок равен 3. Если окажутся нулевыми, ранг равен 2. Если найдется ненулевой минор, ранг будет превышать 3.
   

Продолжаем эту процедуру, увеличивая порядок миноров на одну единицу, пока не встретим нулевые миноры или не создадим окаймляющие миноры.

Для иллюстрации процесса берем за пример таблицу C: 

Начнем с изучения минорных аккордов второй категории. Предположим, что

— 1 2 — 3 0 

Минор имеет размерность 6, подтверждается значимость.

Вводим дополнительный столбец, строку: — 1 2 1 — 3 0 5 — 5 4 7 

Минор имеет значение 0.

Переходим к столбцу: — 1 2 3 — 3 0 4 — 5 4 10 

В данной матрице компоненты расположенные в центре обладает значением 0, прилегающих миноров, уменьшающихся в размере, не выявлено. Значение линейно независимых строк в данной таблице равно 2.

Значение таблицы равно 0.

Для вычисления параметра используются различные подходы: проведение базовых операций с таблицами или реализация алгоритма Гаусса.

К базовым действиям относятся: перестановка строк, умножение строки на число, отличное от 0, сложение одной строки с другой, умноженной на число. Операции не меняют первоначальную структуру таблицы. При их применении таблица преобразована так, что все компоненты, кроме элементов главной диагонали, станут равными 0, что дает возможность определить ранг, который равен r.

При использовании алгоритма Гаусса для определения порядка матрицы важно понимать, какие операции способны упростить таблицу, а какие не приведут к значительным изменениям в структуре.

Пример: Матрица F

Вычтем из третьей строки содержимое второй, из второй — содержимое первой:

Из второго ряда вычтем произведение первого ряда, умноженного на три:

Вычтем из четвертой строки третью и вторую:

Из четвертого столбца вычтем результат, полученный путем удвоения третьего:

Проведем манипуляции: элементы первого столбца уменьшим вдвое, из элементов второго столбца вычтем произведение чисел первого столбца, умноженных на 31.

Пройдемся по математическим операциям: из данных третьего столбца отнимем результат, полученный путем умножения первого элемента на 17, второго на 2; из содержимого четвертого столбца отберем произведение первого элемента на 9, прибавим второй элемент, умноженный на 2.

Ранг составляет 3, предполагаем исходной матрицы будет идентичным — 3. 

Ответ: F = 3.