Численное решение уравнения Пуассона

Эллиптические уравнения – класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы [1]. Такие процессы на практике встречаются очень часто. Это процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени.

---

На Work5 вы можете заказать диссертацию в Иркутске и быть уверенны в качестве.

---

. В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: - колебания напряжения в электрической осветительной сети; - случайные шумы в радиоприемнике; - процесс качки корабля и т. п. Уравне́ние Пуассо́на - это частный случай использования эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. С использованием уравнения Пуассона описывается: электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике [5]. Целью работы является изучение методов решения уравнения Пуассона и систем линейных алгебраических уравнений с разработкой программы реализации. Задачами работы является: - рассмотрение методов решения уравнения Пуассона; - рассмотрение методов решения СЛАУ; - разработка программы, реализующей решение уравнения Пуассона различными методами. Объектом исследования работы являются методы решения эллиптических уравнений, а предметом – особенности построения методов для решения уравнения Пуассона. Работа содержит теоретический раздел, в котором представлены методы решения данной задачи, практический раздел, в котором представлены результаты работы программы и приложение, в котором представлен код программы.

Для решения уравнения Пуассона применяются различные методы, которые классифицируются как методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Достоинства итерационных методов: 1. Погрешность округления не накапливается от итерации к итерации. 2. Число итераций при n>100 обычно меньше n, поэтому общее число действий меньше n3. 3. Не требуется больший объем памяти. 4. Итерационные методы особенно выгодны для систем с большим количеством нулевых коэффициентов (систем с разряженной итерацией). Методы исключения наоборот: чем больше нулей, тем чаще требуется выбирать новую рабочую строку. Недостаток использования таких методов заключается в том, что не всегда можно обеспечить сходимость итерационного процесса. С увеличением размерности системы труднее выполнить линейные преобразования для обеспечения сходимости. По результатам исследования методов решения уравнения Пуассона с использованием разработанного программного обеспечения можно утверждать следующее: 1. Самым влияющим на скорость решения фактором является ширина шага прохода по области решения (она задается количеством точек), влияние точности – на втором месте. 2. Рассмотренные методы дают результат при количестве точек просмотра примерно 5000, что соответствует размерности сетки примерно 70 на 70. Дальнейшее увеличение размера сетки сокращает количество методов, которые могут быть использованы. Если до 5000 точек работают все 9 методов, то после 10000 их остается 6, а после 20000 – 5. Таким образом, выявлены методы, которые гарантируют получение решение. Это методы верхней релаксации, переменных направлений (основной и модифицированный) и попеременно-треугольный. Из этого набора лидеров по скорости и величине невязки выделяются методы переменных направлений, а из них всех более оперативно результат выдает модифицированный метод. Именно эти методы и предлагаются для дальнейшего использования.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 5. Уравнение Пуассона // https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9F%D1%83%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0. 6. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Лекция по дисциплине «Введение в вычислительную математику» // http://www.intuit.ru/studies/courses/1012/168/lecture/4592?page=9 7. Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона // http://www.intuit.ru/studies/courses/1170/213/lecture/5499?page=8