Методы доказательства неравенств

Неравенством с одной или более переменными называются два выражения с одной или несколькими переменными, соединенные знаком неравенства: > (больше), < (меньше), (больше или равно; не меньше), (меньше или равно; не больше). Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых неравенство превращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения. Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятиями равенство возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства поль¬зовались уже древние греки. Архимед (III в.

---

Если вас интересуют контрольные работы студентов заочников , их выполнением занимается компания Work5.

---

. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π. Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического. В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в ХVIII веке после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая (в «Практике аналитического искусства», вышедшей в 1631 г. посмертно) нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (<). В первом случае образованный знак не¬равенства будет обозначать «больше», во втором - «меньше». Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко. Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге (1698-1758). Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач. Введение в программу профильного обучения этой темы очень важно. Задачи этой темы решаются алгебраическим способом, который является одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого мышления. С помощью специально подобранных задач, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения. Задачи на доказательство неравенств часто решаются несколькими способами. Это дает возможность обратить внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными. Доказательства неравенств дает возможность реализовать в процессе изучения темы такие задачи: формирование у учащихся навыка осмысления и применение приемов доказательство неравенств; умение применять приемы доказательств при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу. Цель курсовой работы: знакомство с методами доказательства неравенств. Объект: неравенства. Предмет: методы доказательства неравенств.

Неравенства - это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики - алгебре и теории чисел, геометрии и топологии, теории вероятностей и теории функций, математической физике и теории дифференциальных уравнений, теории информации и дискретной математике - можно указать фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Скажем, решение каких-то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно - в виде числа или формулы, а для приближенного решения в математике всегда требуется указать оценку погрешности, т.е. доказать некоторое неравенство. В этом заключается одно из главных отличий между математическим и физическим уровнем строгости: физик готов ограничиться нахождением «порядка величины» там, где математик стремится строго доказать какие-то оценки, т.е. неравенства. В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы. Доказать – значит привести аргументы, которые отметут все сомнения в правоте высказанного. Для доказательство неравенств часто используют один простой факт: Говорят, что действительное число a больше (меньше) действительного числа b, если их разность a−b является положительным (отрицательным) числом. Числовое неравенство может быть верным или неверным; например, неравенства ; ; ; ; верны, а неверно. Таким образом, с точки зрения математической логики неравенство является высказыванием. Неравенство с переменными (т.е. неравенство, в запись которого входят буквы, принимающие разные значения) может при одних значениях переменных быть верным, при других - нет. Доказать такое неравенство - значит доказать, что оно выполнено при всех допустимых значениях переменных (такие неравенства называются тождественными). Для неравенства с переменными можно поставить задачу: решить неравенство, т.е. описать множество значений переменных, при которых оно выполнено.

1. Баврин, И. И. Высшая математика: учебник по естественно–научным направлениям и специальностям / И. И. Баврин. – Москва: Академия, 2010. – 611 с. 2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – Москва: АСТ: Астрель, 2010. – 703 с. 3. Высшая математика / А. И. Астровский, Е. В. Воронкова, О. П. Степанович: учебно-методический комплекс. – Минск: Издательство МИУ, 2009. – 383 с. 4. Высшая математика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. – Москва: Флинта: МПСИ, 2010. – 359 с. 5. Высшая математика для экономистов: курс лекций / П. С. Геворкян [и др.]. – Москва: Эконом, 2009. – 351 с. 6. Высшая математика: курс лекций: для студентов экономических специальностей / Г. М. Булдык. – Минск: ФУАинформ, 2010. – 541 с. 7. Высшая математика: учебник для студентов высших технических учебных заведений / Г. Л. Луканкин [и др.]. – Москва: Высшая школа, 2009. – 583 с. 8. Краткий курс высшей математики: учебник / К. В. Балдин [и др.]. – Москва: Дашков и Кº, 2012. – 510 с. 9. Кундышева, Е. С. Математика: учебник / Е. С. Кундышева. – Москва: Дашков и Кº, 2011. – 561 с. 10. Малыхин, В. И. Высшая математика: учебное пособие / В. И. Малыхин. – Москва: Инфра-М, 2010. – 363 с. 11. Основы высшей математики: пособие для студентов вузов / А. А. Гусак, Е. А. Бричикова. – Минск: ТетраСистемс, 2012. – 204 с. 12. Основы высшей математики для инженеров: учебное пособие для высших технических учебных заведений / Ю. В. Липовцев, О. Н. 13. Третьякова. – Москва: Вузовская книга, 2009. – 482 с. 14. Шипачев, В. С. Основы высшей математики: учебное пособие для вузов / В. С. Шипачев. – Москва: Юрайт, 2009. – 478 с.http://www.zavtrasessiya.com/index.pl?act=PRODUCT&id=832