Основные элементарные функции, их свойства и графики

Математика является важнейшей наукой – представителем семейства естественных наук. Основные принципы построения и развития всех этих наук базируются на математике. Умение составлять математические модели реальных ситуаций и объектов является одним из основных требований к современному специалисту. Математика дает человеку мощные методы изучения и понимания окружающего мира, методы исследования как теоретических и практических проблем. все разнообразие и богатство средств математики позволяет современному специалисту эффективно решать любую задачу, от экономики, до информационных технологий и медицины. Результаты, полученные с помощью математических методов, позволяют подтвердить или опровергнуть некоторую гипотезу, сделать прогноз, выбрать оптимальный план решения любой задачи. Современная математика при поддержке информатики становится междисциплинарным инструментарием, для выполнения основных функций: обучение специалиста – профессионала умению правильно задавать цель тому или иному процессу, определить условия и ограничения в достижении цели; а так же изучение на моделях возможных ситуаций и получение оптимальных решений.

---

Многих не устраивает цена реферата по международному праву на заказ. У нас вы можете получить качественный реферат по низкой цене. К тому же мы даем скидку в 1000 рублей на первый заказ!

---

. В свою очередь, одной из старейших и важнейших частей математики является математический анализ. Первым «намеком» на анализ считается теория разложения на бесконечно малые величины, которая в силу своей абстрактности, долго носила туманный характер и не имела теоретической базы. Своим появлением математический анализ обязан философу Готфриду Лейбницу. Именно он сформулировал такие понятия, как минимум и максимум, точки перегиба и выпуклости графика функции, сформулировал основы дифференциального исчисления. С этого момента математику официально разделяют на элементарную и высшую. Большая часть понятий и теорем базируется на определении «функция». Понятие функции ввел Леонард Эйлер. На протяжении XVIII в. были созданы основные методы анализа, которые составили базу дифференциального и интегрального исчисления: вариационное исчисление, теория рядов, теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Когда в 1870-х Бернард Больцано дал современное определение непрерывности, появился новый раздел анализа: функция действительной переменной. С 1821 Огюстен Коши, введя понятие бесконечно малых величин, заложил прочное логическое основание математического анализа. Симеон Пуассона, Жозеф Лиувилль, Жозеф Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения и гармонический анализ. Благодаря вкладу этих и других математиков, таких как Карл Веерштрас развился епсилонний подход, который является основой современного математического анализа. В XIX веке Бернгард Риман развил теорию интегрирования. В дальнейшем, Рихард Дедекинд сконструировал определения иррационального числа. Примерно тогда же попытки уточнить теоремы интегрирования по Риману привели к изучению разрывов действительных функций. Стали возникать математические парадоксы, такие как нигде непрерывная функция Дирихле, непрерывная, но нигде не дифференцированная функция Веерштраса, кривые, полностью заполняют плоскость вроде кривой Пеано. Решая проблемы с такими функциями, были построены теория меры Жордана и интуитивная теория множеств. В начале 20 века математический анализ был дополнен теорией множеств. Возникла идея нормированного векторного пространства, и в 1920-х появился функциональный анализ. Развитие информационных технологий ставит перед математическим анализом новые задачи, инициализируя развитие новых направлений и теорий. Увеличивается точность вычислений, расширяются возможности исследований. Появилась возможность проведения компьютерных экспериментов в тех ситуациях, где практическое исследование невозможно. В подобных случаях только вычислительный эксперимент дает возможность получать данные, максимально приближенные к реальным. Эти эксперименты проводится с математическими моделями. Как следствие, стали разрабатываться новые теории и практики в программировании, например, теория численных методов и алгоритмов решения математических задач. Развитие компьютерной техники способствовало развитию и усовершенствованию методов построения математических моделей. Огромное место в моделировании процессов играют математические системы (пакеты). Они позволяют производить расчеты от уровня калькулятора до сложнейших задач дифференциального исчисления. С их помощью можно вычислять пределы и интегралы, а так же строить различные линии и поверхности. С помощью математических пакетов можно сэкономить время, избежать вычислительных ошибок. Исходя из этого, можно сделать вывод, что изучение математического анализа в целом, и функций, в частности, не теряет своей значимости. А, следовательно, данная тема является актуальной. Степень изученности темы данной работы отражает список литературы, который включает в себя классические и современные учебники в области математики, математического анализа, статьи и разработки ведущих теоретиков и практиков в данных сферах. При написании работы использовались как «советские», так и современные источники. Основы математического анализа изложены в книгах Фихтенгольца Г. М., Пискунова Н. Исторические аспекты рассматриваются в книгах «Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей», «Возникновение и развитие математической науки». Изложение материала, связанного с элементарными функциями, их свойствами и графиками во всех источниках даются одинаково, поэтому систематизировать материал не составило большого труда. Цель данной работы – систематизировать данные об основных элементарных функциях, их свойствах и графиках. Предметом исследования является процесс применения свойств функций при изучении отдельных разделов математического анализа. Объект исследования – преобразование графиков функций в ходе их построения . Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1. Изучить специализированную печатную и электронную литературу. 2. Провести сбор, анализ и систематизацию свойств элементарных функций. 3. Рассмотреть основные приемы преобразования графиков элементарных функций. 4. Рассмотреть применение способов преобразования графиков для построения графиков конкретных функций. Методы и средства решения поставленных задач:  анализ данных учебной литературы, практических пособий  практическое построение графиков функций средствами ИКТ. В работе приведены основные этапы становления математического анализа, как науки, описание, свойства и графическое изображение элементарных функций, описаны способы преобразования графиков элементарных функций для построения их композиций, а так же приведено построение графиков функций с использованием рассмотренных свойств и преобразований. Практическая значимость работы заключается в том, что полученную теоретическую и практическую часть, после небольшой доработки, можно использовать как пособие для студентов первого курса или при подготовке школьников к ОГЭ и ЕГЭ .

В ходе написания данной дипломной работы, была изучена большая теоретическая база, проведен анализ различных печатных и электронных ресурсов. Как старые, так и современные источники несут главную мысль - математика перспективная, развивающаяся наука. Несмотря на свой «возраст», она по прежнему остается востребованной, а так же продолжает служить базой для многих других наук. Свои позиции не теряет и математический анализ. Процесс развития в этой области идет не такими темпами, как например, в линейной алгебре, но области применения анализа расширяются. Математический анализ сохраняет свою актуальность и универсальность. Эти выводы подтверждает глава первая, в которой рассматривается история математического анализа и общие понятия и свойства функций. Понятие функции используют для решения текстовых задач, для описания процессов и явлений, а их графическая интерпретация – мощнейший инструмент для анализа данных. Развитие экономики, информационных технологий, физики не возможно представить без использования функций и их свойств. Для написания второй главы были рассмотрены основные элементарные функции, их свойства и графическая интерпретация. Именно эти функции лежат в основе многих доказательств и определений, а так же являются базовыми для более сложных. Очень часто функции и их графики находят приложение в совершенно новых и неожиданных областях. На практике редко встречаются элементарные функции. Гораздо чаще приходится иметь дело с композициями элементарных функций (функция от функции). Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций. Такой метод построения не дает большой точности, но очень эффективен в случаях, когда необходимо рассмотреть основные характеристики функции (процесса, зависимости). Этим преобразованиям посвящена третья глава работы. Так же в третьей главе приведены примеры использования описанных преобразований для построения графиков функций. Новые возможности при изучении и использовании функций открывают информационные технологии, в частности, математические пакеты. Современные математические пакеты основываются на принципе конструирования модели, а не традиционном программирование. То есть пользователь ставит задачу, а методы и алгоритмы решения система находит сама. Основные операции и вычисления (раскрытие скобок, преобразование выражений, решение уравнений, производных и интегралов) выполняются в символьном виде, с минимальным участием пользователя. Одним из самых распространённых пакетов в настоящее время является Mathcad. MathCad - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда. А так же делает максимально наглядным процесс изучения свойств функции и построения ее графика, т.к. дает возможность работать в режиме «реального времени», т.е. получать новые результаты и графики сразу же после изменения исходных денных. К тому же, многие современные сервисы предоставляют функцию просмотра решения (в том числе, промежуточные результаты, буквенные выражения и т.д.) В целом, можно считать, то цель поставленная достигнута, выделенные задачи решены. В дальнейшем можно рассмотреть применение информационных технологий для изучения свойств функция и построения их графиков. Для этого можно использовать специализированные программы (математические пакеты), табличные процессоры или интернет – ресурсы. Несмотря на разнообразие способов решения данной задачи, все перечисленный средства используют численные методы, которые являются частью математического анализа. В зависимости от глубины рассмотрения реализации вычислений и построений, результаты можно будет применять как ля работы со школьниками, так и для использования в образовательном процессе, в ВУЗах и ССУЗах. Работу по данной теме еще долго нельзя будет считать завершенной, т.к. развитие компьютерной техники и информационных технологий позволяет вести все более точные расчеты и построения. В свою очередь это ведет к новым открытиям, разработкам, появлению новых направлений в науке, в том числе и математическом анализе, возникновению новых потребностей у человечества. Это вызывает новый виток развития технологий. И данный процесс будет продолжаться, пока существует человечество.

Печатные источники 1. Аверьянов Д. И. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы./ Аверьянов Д. И., Алтынов П. И. – М.: Дрофа, 2012 - 230 с. 2. Агачев П.Е. Курс высшей математики для учащихся заочных техникумов и самообразования./ Агачев П.Е. – Л.: СУДПРОМГИЗ, 2017. – 573 с. 3. Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений./ Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин - М.: Просвещение, 2011 – 410 с. 4. Берншейн, С.Н. Понятие о функции в средней школе /С.Н. Берштейн - //Математическое образование, М., 1999, №4, С.169-175 5. Будаев В. Д.Математика и информатика./ Будаев В. Д., Стефанова Н. Л.  М.: Высшая школа, 2015. – 352 с. 6. Бычков, Б.П. Понятие функции в курсе алгебры русской дореволюционной средней школы в XX веке/ Бычков, Б.П. // Математика в школе. М,1955, №6. С.1-8. 7. Бычков, Б.П. Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в XIX веке / Бычков, Б.П. // Математика в школе. М., 1954, №4, С.6-14. 8. Валуцэ И.И. Математика для техникумов,/ Валуцэ И.И. - М.: Просвещение, 2019. – 139 с. 9. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике / Виленкин Н.Я. - М.: Просвещение, 2016. – 150 с. 10. Виленкин, Н.Я. Функции в природе и технике./ В.Я. Виленкин - М., 1978. – 139 с. 11. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике./ Выгодский М. Я. – Элиста: Джангар, 2016г.- 372 с. 12. Гайдуков, И.И. Функции и предел (Методическая разработка для средней школы) / Гайдуков, И.И. //Ученые записки каф. элементарной математики и методики преподавания математики. Тула: Приокское книжное издательство, 1967. С.49–101. 13. Гельфанд И.М Функции и их графики / Гельфанд И.М., Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль - «Наука» Москва 1971г. – 219 с. 14. Гончаров В.Л. Идея функции в преподавании математики в средней школе/ В.Л. Гончаров// Сов. педагогика. 1945. №3, с.12-16 15. Грешилов А. А. Вычисление пределов функций. Техника дифференцирования. Исследования функций и построение графиков (+ CD-ROM) / А.А. Грешилов, И.В. Дубограй. - М.: Логос, 2014. - 176 c. 16. Гусев В.А. Математика: Справочные материалы. / Гусев В.А. - М.: Просвещение, 1990. – 156 с. 17. Даан-Дальмедико А. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики./А. Даан – Дальмедико, Ж.Пейффер./ Пер. с фр. А.А. Бряндинской, под ред. И.Г. Башмаковой. М., 1986.- 368с 18. Декарт. Геометрия./ Пер. А.П. Юшкевича./Декарт. М.-Л., 1988.- 215с. 19. Дороднов А.М. Графики функции. Учебное пособие для поступающих в вузы. / Дороднов А.М. - М., «Высш.школа», 1972 - 111с. 20. Дронов А.М. Графики функций / Дороднов А.М. - М., 2012 - 95 с. 21. Егерев В. К. Методика построения графиков функций / В.К. Егерев, Б.А. Радунский, Д.А. Тальский. - М.: Высшая школа, 2017. - 152 c. 22. Железнякова О.М.Основы профессионально – педагогической деятельности. / Железнякова О.М., Никитина Н.Н., Петухов М.А. М.: Мастерство, 2017. – 201 с. 23. Звавич Л.И. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе./ Звавич Л.И. - М.: Просвещение, 1996 – 112 с. 24. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCad PRO./ Ивановский Р.И.  М.: Высшая школа, 2018 – 198 с. 25. Кирьянов Д. MathCad 14. / Кирьянов Д.– СПб.: БХВ - Петербург, 2015. – 112 с. 26. Колягин М. Ю. Математика. Алгебра и элементарные функции/ под ред. Яковлева Г. Н. – М.: Ангар, 2017 г. – 510 с. 27. Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в вузы./ Крамор В.С. – М.: АРКТИ, 2001 – 341 с. 28. Кушнир И. Шедевры школьной математики / Кушнир И. - Киев, 2005 – 128 с. 29. Литвиненко, Н. Ю. Построение графиков в Excel: тонкости / Н.Ю. Литвиненко. - М.: Солон-Пресс, 2019. - 307 c. 30. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс/ Мордкович А.Г. - М., 2002 – 312 с. 31. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 классы/ Мордкович А.Г. - М., 2018 – 410 с. 32. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление./ Пискунов Н. С. – М.: Интеграл - пресс, 2016 г. – 204 с. 33. Потапов М. К. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции./ Потапов М. К. - М.: Высшая школа, 2016г. – 196 с. 34. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. Книга для учителей./К.А. Рыбников - М., 1987. -318 с. 35. Сивашинский И.Х. Элементарные функции графики/ Сивашинский И.Х. - М., 2015 – 209 с. 36. Столин А.В. Комплексные упражнения по математике/ Столин А.В. - Харьков, 1995 37. Тюлина И.А. Жозеф Луи Лаграж / Тюлина И.А. - М .1977. С.11-12. 38. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа./ Фихтенгольц Г. М. – СПб.: Лань, 2009. – 671с. 39. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей. Пособие для студентов пед. ин-ов./ Под ред. А.П. Юшкевича. - М., 1977. – 329 с. 40. Шахмейстер А.Х. Построение графиков функций элементарными методами / Шахмейстер. - М.: Петроглиф, 2012. - 775 c. 41. Шахмейстер, А. Х. Построение графиков функций элементарными методами / А.Х. Шахмейстер. - М.: Петроглиф, Виктория плюс, МЦНМО, 2018. - 184 c. 42. Шахмейстер, А.Х. Построение графиков функций элементарными методами / А.Х. Шахмейстер. - М.: Книга по Требованию, 2016. - 184 c. 43. Шилов Г.Е. Что такое функция./Г. Е. Шилов// Математика в школе М.,1964.№1. С.7-15 Электронные ресурсы 44. Бирюкова С. С. Использование компьютеров в обучении математики. — [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://sbiryukova.narod.ru (дата обращения: 21.01.2020) 45. Калькулятор. Справочный портал. Способы задания функции - [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://www.calc.ru/Sposoby-Zadaniya-Funktsiy.html (дата обращения 31.01.2020) 46. Основные элементарные функции, их свойства и графики. - [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://www.cleverstudents.ru/functions/basic_elementary_functions.html 47. Поцелуева Э.Б. Применение компьютеров в обучении математике. - [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://festival.1september.ru (дата обращения: 20.01.2020) 48. Способы задания функции. Примеры. - [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://helpmatan.ru/page101.php (дата обращения 29.01.2020) 49. Фоксворд. Ограниченные функции. Математика (Функции) - [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://foxford.ru/wiki/matematika/ogranichennye-funktsii (дата обращения: 1.02.2020) 50. Функция: понятие, определение, график - [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=funktsii-i-grafiki (дата обращения 3.02.2020)