ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В настоящее время человечество уделяет все большее внимание процессу научного познания и ускорению технического прогресса. Это приводит к целенаправленной необходимости анализа сложных процессов и систем с точки зрения их структуры, организации и функционирования. И одна и главных ролей здесь отводится математическому моделированию. Моделирование на цифровых вычислительных машинах является одним из мощнейших средств исследования. Оно дает возможность осуществлять вычислительные эксперименты на стадии проектирования, а также изучать системы и проводить натурные эксперименты, которые из-за небезопасности или высокой стоимости нецелесообразно воспроизводить в реальности. В то же время, благодаря близости по результатам к физическому моделированию, этот метод исследования доступен для широкого применения. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых процессов и явлений. А разработанные вычислительные алгоритмы дают возможность получать с помощью компьютеров приближенные решения сложных задач с заданной точностью и в требуемое время. Значительное количество задач физики и технических наук приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнениям математической физики). Это задачи теории упругости, пластичности, дифракции, акустики, задачи распространения тепла, электромагнитных волн, диффузии и многие другие.

---

Реферат по электротехнике на заказ не будет содержать "воды". Рефераты, которые пишут наши авторы, получают высокие оценки! Обращайтесь в Work5!

---

При этом нахождение точного аналитического решения зачастую возможно лишь для весьма ограниченного круга, как правило, одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Поэтому для решения подобных задач в случае нескольких измерений возникает необходимость использования численных методов, позволяющих преобразовывать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений с дальнейшей обработкой данных вычислительными средствами. И здесь на помощь приходит обширный программный инструментарий, разработанный для математического моделирования. Также современный специалист должен в совершенстве владеть принципами построения моделей не только неодушевленной природы, но также уметь моделировать и исследовать динамику процессов в химических, эколого-экономических, социальных и в других системах. Целью данной курсовой работы является получение базового представления и расширение знаний о методологии моделирования динамических систем. Теоретический материал и приведенный пример решения практической задачи объединены общей идеей – показать, каким образом математическое моделирование используется в современной науке. Особое внимание в работе уделено рассмотрению принципам моделирования с помощью аппарата динамических систем и программного обеспечения PDETool/PDE Modeler из пакета прикладных программ Matlab. Достижение поставленной цели требует выполнения следующих основных задач: - закрепить пройденный лекционный материал; - проработать учебную и тематическую литературу; - систематизировать полученную информацию; - выполнить практическое задание на ЭВМ; - на основании изученного материала сделать выводы и рекомендации. Объект исследования: математическое моделирование. Предмет исследования: динамические модели и системы. Работа в силу разнообразия сфер применения актуальна не только для студентов и специалистов прикладной математики, но и для большого круга ученых, технологов и инженеров-исследователей.

Сегодня компьютерная индустрия предлагает различные средства моделирования, поэтому квалифицированный инженер, конструктор, экономист или менеджер должны уметь моделировать сложные объекты и системы, исследовать их с помощью современных технологий, реализованных в форме графических сред или пакетов визуального моделирования. Для построения адекватной математической модели необходимо иметь строгое представление о целях функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, определяющих область ее допустимых значений. Цели и ограничения должны быть представлены в виде функций. Переменные, от которых зависят ограничения и целевая функция, могут быть дискретными (чаще всего целочисленными) и континуальными (непрерывными). В свою очередь, ограничения и целевая функция делятся на линейные и нелинейные. При этом для многих возникающих задач существуют разные способы решения и построения моделей, которые следует выбирать в зависимости от целей, задач и специфики исследований. Построение модели опирается на значительное упрощение изучаемой ситуации и, следовательно, к выводам, получаемым на ее основе надо относиться достаточно осторожно – модель может не все. Вместе с тем даже весьма грубая с виду идеализация нередко позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Пытаясь как-то влиять на параметры модели (выбирать их, управлять ими), мы получаем возможность подвергнуть исследуемое явление качественному анализу и сделать конкретные выводы из общего. Возможности, которые математическое моделирование открывает для развития науки, техники и технологий трудно переоценить. Именно математическому моделированию принадлежит существенная часть успехов, достигнутых в передовых областях современной науки. Оно все более быстро овладевает новыми направлениями – авиастроение, машиностроение, химическое производство. Очень перспективные направления его применения относятся к исключительно важным, но зачастую недостаточно формализованным сферам – это экономика, социология и др. Важное преимущество методов моделирования динамических систем состоит в том, что они позволяют резко сократить объем и масштабы натурных экспериментов. Рассмотренный набор инструментов PDETool/PDE Modeler пакета прикладных программ Matlab охватывает достаточно широкий спектр задач, среди которых: плоская задача теории упругости, стационарная и нестационарная задачи инженерных и научных расчетов теплопроводности, неравномерного нагрева и диффузии, задачи электростатики и магнитостатики задач деформации и нагруженности частей механических конструкций, устойчивости элементов сооружений к различным воздействиям. Имеется возможность задания эллиптических, параболических и гиперболических уравнений и систем уравнений, решения задач на собственные значения и задач, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. В процессе выполнения данной работы в соответствии с ее целями и задачами были изучены следующие вопросы: - концепция модели, физические и математические модели; - динамические объекты и их виды; - динамические системы и их классификация; - процесс математического моделирования, этапы и их суть; - решена практическая задача моделирования распространения тепла в двумерной пластине; - обобщена методология создания математических моделей и требования, предъявляемые к ним. Полученные знания и навыки будут востребованы в дальнейшем при решении сложных задач математики, физики, экономики, в научно-исследовательской и других сферах человеческой деятельности.

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. – М.: Высшая школа, 2009 г. –352 с. 2. Бережная Е.В., Бережная В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. –432 с: ил. 3. Верлань А.Ф., Москалюк С.С. Математическое моделирование непрерывных динамических систем. - Киев: Наукова думка, 1988. –288 с. 4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Айрис-Пресс, 2008 г. –553 с. 5. Картвелишвили В. М., Мазуров М. Е., Петров Л. Ф. Прикладные системно-динамические модели. Теория и практика: монография. – Москва: ФГБОУ ВО «РЭУ им. Плеханова», 2018. – 240 с. 6. Курбатов В. И., Угольницкий Г. А. Математические методы социальных технологий. – М.: Вузовская книга, 2011 г. –256 с. 7. Монах А. В. Математические методы анализа экономики. – СПб.: Питер, 2007 г. –176 с. 8. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. Изд. 3-е, исправленное. М.: КомКнига, 2007. - 192 с. 9. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели. – М.: Вузовский учебник, 2008 г. –365 с. 10. Петров Л.Ф. Методы динамического анализа экономики: Учебное пособие / Л.Ф. Петров. – М.: ИНФРА-М, 2010. –239 с. 11. Попов И. И., Партыка Т. Л. Математические методы. – М.: ИНФРА-М, 2007 г. –464 с. 12. Попова Н.В. Математические методы. – М.: Анкил, 2007 г. –440 с. 13. Самарский А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. – М., 2001. –320 c. 14. Самойленко С.Д. Дифференциальные модели. Устойчивость / А. М. Самойленко, С. Д. Борисенко, Дж. Матараццо и др. – К.: Высшая школа, 2000. –329 с. 15. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики: Учеб. для студентов физ.-мат. спец. ун-тов / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский; МГУ им. М.В. Ломоносова. - 7-е изд. - М. : Изд-во МГУ : Наука, 2004. – 798 с. 16. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с. 17. Хусаинов Д. Я., Харченко И. И., Шатырко А.В. Введение в моделирование динамических систем: Учебное пособие. –К.: КНУ им. Т. Шевченка, 2000. –128 с. 18. Шмелев В. Е. MatLab. Partial Differential Equations Toolbox, 2022, сайт «Exponenta.ru». [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/pde/book1/ (дата обращения 04.01.2023) 19. Эйдельман С. Д. Параболические системы. — М.: Наука, 1984. – 400 с