Системы алгебраических уравнений. Базис Грёбнера

Теория систем линейных уравнений хорошо изучена. Известны и широко применяются на практике различные способы решения систем линейных уравнений, такие как метод Гаусса и метод Крамера. Системы уравнений более высоких степеней значительно сложнее. Один из способов решения систем алгебраических уравнений связан с нахождением базиса Грёбнера. Понятие базиса Грёбнера связано с понятием идеала, которое в свою очередь связано с понятием кольца.

---

Заказывайте написание контрольной работы по географии. Рассчет стоимости работы бесплатно!

---

Поэтому представляет актуальность изучение колец, идеалов и базисов Грёбнера. Цель работы – показать применение базисов Грёбнера при решении систем уравнений. Задачи работы – дать определение понятий, связанных с базисом Грёбнера, привести алгоритм Бухбергера для нахождения базиса Грёбнера, решить систему уравнений с помощью базиса Грёбнера. Объект исследования – системы алгебраических уравнений. Предмет исследования – базисы Грёбнера и алгоритм Бухбергера. Методы исследования – решение систем алгебраических уравнений с помощью базиса Грёбнера. Работа состоит из двух частей. В первой части даются понятия кольца, поля, идеала, а также теорема Гильберта о базисе. Во второй части дается определение базиса Грёбнера, приводится алгоритм Бухбергера и показывается его практическое применение.

В данной работе исследованы системы алгебраических уравнений. Существуют различия между системами уравнений над полем действительных чисел и над полем комплексных чисел. Множество комплексных чисел алгебраически замкнуто. В поле действительных чисел любая конечная система уравнений эквивалентна одному уравнению. При решении таких систем используется понятие идеала. Идеалом называется такое подмножество кольца, что любая линейная комбинация элементов идеала также входит в идеал. Всякой системе уравнений можно сопоставить идеал, порожденный уравнениями системы. Теорема Гильберта утверждает, что любой идеал допускает конечный базис, следовательно, любая система уравнений эквивалентна конечной системе. Для того чтобы решить систему уравнений, достаточно найти базис Грёбнера. Определение базиса Грёбнера требует выделение старшего члена. Одним из способов определения старшего члена является лексикографический способ. Найти базис Грёбнера можно с помощью алгоритма Бухбергера. Находится зацепление, то есть случай, когда старшие члены двух многочленов базиса имеют общий делитель. Составляется новый многочлен, производится его редукция, пока это возможно. Если получается ненулевой многочлен, он добавляется к базису. Когда все зацепления редуцируются к нулю, базис Грёбнера найден. В данной работе показан пример выполнения алгоритма Бухбергера.

1. Алгебра и теория чисел, Избранные вопросы алгебры: Программы курсов / Сост. С.А. Моисеев; Ряз. гос. ун-т им. С.А. Есенина. – Рязань, 2006. – 81 с. 2. Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. – М.: МЦНМО, 2003. – 68 с. 3. Борбат В.Н., Сакович Н.В. Кольца: Методические указания и задачи для самостоятельного решения — Могилев: МГУ им. А.А.Кулешова, 2002. — 32 с. 4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. Под редакцией Мерзлякова Ю. И. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. – 623 с. 5. Галиев Ш. И. Дискретная математика. Казань: Изд-во Мастер Лайн. 2005. – 174 с. 6. Ершов А. В. Лекции по линейной алгебре. – М.: 2022. – 268 с. 7. Золотых Н.Ю., Сидоров С.В. Группы, кольца, поля. Учебно-методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2012. - 52 с. 8. Кожухов И.Б., Романов А.В. Общая алгебра: Уч. пособие. – М.: МИЭТ, 2009. – 300 с. 9. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. 10. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. – 564 с.