Основная теорема алгебры (теорема о существовании комплексного корня)

Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле. Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других.

---

Ваша кандидатская диссертация на заказ в Воронеже будет исполнена качественно на Work5.

---

Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим. Целью работы является выявления, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Задачи работы: 1. Изучить историю Основной теоремы алгебры. 2. Рассмотреть основные понятия, используемые в дальнейшем для доказательства. 3. Доказать Основную теорему алгебры. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

Таким образом, решены все задачи, поставленные во введении. Эта теорема играет очень важную роль в алгебре, хотя «основной» называется исключительно в силу традиции. В некоторых частных случаях существование корня почти очевидно. Заметим, что в любом доказательстве так или иначе используется свойство непрерывности функции. Первое полное доказательство получено Гауссом. На сегодняшний день имеется уже не менее десятка различных доказательств. Основная теорема алгебры утверждает, что каждый не константа однопеременный многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Сюда входят полиномы с действительными коэффициентами, поскольку каждое действительное число является комплексным числом с его мнимой частью, равной нулю. Эквивалентно (по определению) теорема утверждает, что поле из комплексных чисел является алгебраически замкнутым. Теорема также формулируется следующим образом: каждый ненулевой многочлен с одной переменной степени n с комплексными коэффициентами имеет, при подсчете с кратностью, ровно n комплексных корней. Эквивалентность двух утверждений может быть доказана с помощью последовательного полиномиального деления. Несмотря на свое название, нет чисто алгебраического доказательства теоремы, поскольку любое доказательство должно использовать некоторую форму аналитического полнота действительных чисел, которая не является алгебраическим понятием. Кроме того, это не фундаментально для современной алгебры; его название было дано в то время, когда алгебра была синонимом теории уравнений.

1. Белько, И.В. Высшая математика для инженеров. 1 семестр: экспресс-курс / И.В. Белько, К.К. Кузьмич, Р.М. Жевняк. - М.: Новое знание, 2007. - 167 c. 2. Бугров, Я.С. Высшая математика в 3 т. Т.2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебник для академического бакалавриата / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 281 c. 3. Геворкян, П.С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / П.С. Геворкян. - М.: Физматлит, 2014. - 208 c. 4. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. - М.: Ленанд, 2019. - 512 c. 5. Ибрагимов, И.М. Высшая математика. Математическое программирование: Учебник / И.М. Ибрагимов, А.Н. Ковшов, Ю.Ф. Назаров. - СПб.: Лань, 2010. - 352 c.