теория игр

Задача 1. Планируется работа двух предприятий на n=4 года. Начальные ресурсы равны s_0=2000. Средства x, вложенные в 1-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f_1 (x), и возвращаются в размере φ_1 (x). Средства y, вложенные во 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f_2 (y), и возвращаются в размере φ_2 (y). В конце года возвращенные средства заново перераспределяются между предприятиями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль. Решение. Пусть u_i^k - средства, вложенные в k-е предприятие. Так как возвращенные средства распределяются полностью, то имеет место условие: s_(i-1)=u_i^1+u_i^2, где s_(i-1) – средства на начало (i-1)-го года. Уравнения состояний имеют вид: s_i=φ_1 (u_i^1 )+φ_2 (u_i^2 )=0,3∙u_i^1+0,5∙(s_(i-1)-u_i^1 )=0,5∙s_(i-1)-0,2∙u_i^1, или s_i=φ_1 (u_i^1 )+φ_2 (u_i^2 )=0,3∙(s_(i-1)-u_i^2 )+0,5∙u_i^2=0,3∙s_(i-1)+0,2∙u_i^2. Прибыль на i-м году равна: f(s_(i-1),u_i^1 )=f_1 (u_i^1 )+f_2 (s_(i-1)-u_i^1 )=0,6∙u_i^1+0,5∙(s_(i-1)-u_i^1 )= =0,5∙s_(i-1)+0,1∙u_i^1, или f(s_(i-1),u_i^2 )=f_1 (s_(i-1)-u_i^2 )+f_2 (u_i^2 )=0,6∙(s_(i-1)-u_i^2 )+0,5∙u_i^2= =0,6∙s_(i-1)-0,1∙u_i^2. Тогда максимальная прибыль в конце 4-года составит: z_3^*: max┬(0≤u_4^2≤s_3 )⁡(f(s_3,u_4^2 ))=max┬(0≤u_4^2≤s_3 )⁡(0,6∙s_3-0,1∙u_4^2 )=0,6∙s_3, u_4^(2*)=0. Максимальная прибыль в конце 3-го составит: z_2^*: max┬(0≤u_3^2≤s_2 )⁡(f(s_2,u_3^2 )+z_3^* )=max┬(0≤u_3^2≤s_2 )⁡(0,6∙s_2-0,1∙u_3^2+0,6∙s_3 )= =max┬(0≤u_3^2≤s_2 )⁡(0,6∙s_2-0,1∙u_3^2+0,6∙(〖0,3∙s〗_2+0,2∙u_3^2 ))=