Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени :
(1)
Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая (1) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:
;
(2)
; дальше мы будем рассматривать уравнение (2).
Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение – это уравнение вида
;
(3)
Задача Коши для уравнений (2) и (3) ставится также, как и для общего уравнения n-го порядка : требуется найти решение уравнения (2) или (3), удовлетворяющее начальным условиям
(4)
где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа. Для уравнения теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести (2) к виду:
,
то .
Студенты спрашивают: где лучше всего заказать написание контрольной работы по русскому языку? Мы знаем ответ на этот вопрос. Заказывайте контрольные работы в Work5! 100% оригинальность, кратчайшие сроки и высочайшее качество работ - это наши стандарты!
. Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f(x) и pi(x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения заключался в том, что найдётся окрестность точки x0, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (2) и (3) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы:
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), pi(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x0 - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (4) существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению (2) и начальным условиям (4) .
Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.
20 страниц
100% уникальность
2011 год
141 просмотров
