Графические образы интегральных автономных динамических систем

Тема работы относится к т.н. качественной или геометрической теории дифференциальных уравнений. Основы ее были заложены ещё в начале 20 в. А. Пуанкаре, А.

---

Реферат по стоматологии на заказ не будет содержать "воды". Рефераты, которые пишут наши авторы, получают высокие оценки! Обращайтесь в Work5!

---

. М. Ляпуновым. Один из основных - метод фазовой плоскости, графоаналитический метод исследования динамических систем, Теоретические основы его были разработаны А. Пуанкаре. Метод применяется в теории колебаний, теории автоматического регулирования, в электротехнике и механике, биологии. Позже появились новые ее направления - теория, бифуркаций динамических систем, связываемая с именем А. А. Андронова, теория катастроф, как ее ветвь. Метод анализа колебательных процессов с помощью исследования фазовых траекторий динамической системы был введен в теорию колебаний Л.И. Мандельштамом и А.А. Андроновым Теория бифуркаций динамических систем — это теория, изучающая изменения качественной картины разбиения фазового пространства в зависимости от изменения параметра (или нескольких параметров). Прежде всего, определим понятие динамической системы. Согласно википедии [1] «Динамическая система (с непрерывным временем) является синонимом автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям..» Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная не входит явно в систему. Актуальность темы связана [5] с тем, что часто модельные системы из-за их сложности не допускают содержательного исследования из-за обилия переменных. Часть мало меняющихся переменных полагают постоянной, исследуя упрощенную модель. При этом отброшенные члены можно рассматривать как возмущения и описывать исходную модель средствами теории бифуркаций.

Метод фазовых кривых и фазовых портретов актуален при моделировании в различных областях естествознания и экономики - инструмент исследования нерегулярной экономической динамики [8]. Этими методами описываются и анализируются автоколебания- незатухающие колебания, имеющие место в ламповом генераторе, и т.д. изображаются на фазовой плоскости в виде предельных циклов Пуанкаре – замкнутых кривых, к которым асимптотически приближаются все близлежащие кривые, рассматриваются переходные процессы – случаи «жесткого» и «мягкого» возбуждения колебаний в виде геометрических образов на фазовой плоскости. Построение фазовых портретов в настоящее время удобно проводить в математических пакетах – Matcad,Mapple, Matlab c надстройкой Matlab/Simulink. Многомерные предельные множества траекторий динамических систем еще слабо изучены и ждут своих исследователей Теория аттракторов применяется в исследованиях структур бесконечномерных динамических и полудинамических систем. Аттракторы лежат в основе молодой теории хаоса, применяются в теории самоорганизующихся систем, процессов самоорганизации в неживой и живой природе. Развивается новая теория хаотической динамики

1. Арнольд В.И Обыкновенные дифференциальные уравнения 2. Арнольд В.И. и др. Теория бифуркаций. 3. Арнольд В.И. Особенности, бифуркации и катастрофы, «Успехи физических наук, т.141,вып.4,1983г. 4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Теория бифуркаций динамических систем на плоскости 5. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 3 изд., M., 1981; 6. Баутин, Леонтович, Методы и приемы качественного исследования динамических систем, М.,1990 7. Википедия http://ru.wikipedia.org/wiki/Динамическая_система 8. Качественная теория динамических систем под ред.Андронова Гордон 9. ПеченкинА.А. Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории нелинейных колебаний, Философия науки, вып.7 10. Холод В.П. Моделирование динамических систем, представленных интегральными и интегродифференциальными уравнениями, Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB", 28-29 мая 2002 г