Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Существует множество математических и физических задач, при решении которых появляется необходимость решить систему линейных алгебраических уравнений. Математические модели различных процессов или явлений сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к линейным алгебраическим при помощи дискретизации или линеаризации. В зависимости от типа задачи, вида основной матрицы системы и имеющихся в наличии инструментов, можно выбирать те или иные методы решения системы. Каждый из методов имеет свою специфику и область применения и выбирается с учетом особенностей построения имеющейся задачи. Существующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяются на два обширных класса: прямые и итерационные. Прямыми называются такие методы, которые за конечное число арифметических операций приводят к решению. Решение окажется точным, если точно реализуются все операции. По этой причине прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений также называют точными. Итерационными называются методы, в которых точное решение может быть найдено лишь путем бесконечного повторения итераций (единообразных действий). В данной работе рассматриваются прямые методы, которые позволяют при отсутствии ошибок округления за конечное число арифметических операций получить точное решение.

---

Отличная цена на курсовые только у нас.

---

. К таким методам относятся метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод, метод прогонки, метод Холецкого, использование LU-разложения и другие методы. При этом, метод Гаусса является наиболее универсальным методом, применимым для любых систем. Однако, для оптимизации времени расчетов и разгрузки вычислительных систем, следует знать другие существующие методы и область их применения. В данной работе описаны наиболее распространенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, рассмотрены их преимущества и недостатки, а также сделаны выводы относительно того, в какой ситуации наиболее применим тот или иной метод.

Метод Гаусса является одним из самых мощных и удобных инструментов для решения систем линейных алгебраических уравнений. К его достоинствам можно отнести его простоту и универсальность, а также, то, что данный метод дает возможность определить ранг матрицы и однозначно установить, совместна она или несовместна. Данный метод может использоваться в любой ситуации, в которой есть необходимость решить систему линейных алгебраических уравнений, а также, когда требуется исследовать систему. Метод Крамера позволяет находить решение систем линейных алгебраических уравнений, в случае, когда определитель матрицы системы не равен нулю. Метод сводится к нахождению определителей матриц порядка nxn и применению формул Крамера для нахождения неизвестных переменных. Этот метод применим для систем уравнений небольшого порядка. Если уравнений в системе больше трех, количество математических операций, нужных для вычислений, становится настолько большим, что использование метода становится нецелесообразным, и становится удобнее использовать метод Гаусса. Метод обратной матрицы, как и метод Крамера, применим для систем линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, и в которых определитель матрицы системы не равен нулю. Эти условия накладывают соответствующие ограничения на применимость метода. Метод прогонки является модификацией метода Гаусса, применение которой возможно при решении задач, в которых матрица системы является трехдиагональной либо сводится к трехдиагональному виду. Метод Холецкого, являясь частным случаем метода Гаусса, предпочтительнее в использовании для систем, матрица которых симметрична и положительно-определена, поскольку данный метод требует применения меньшего числа арифметических операций и более устойчив численно. Однако, она применим только для случаев систем с вышеописанным видом матриц, что накладывает значительные ограничения на область его применения. Выбор того или иного метода решения системы уравнений обусловлен такими факторами, как вычислительные мощности имеющегося оборудования, необходимая скорость и точность вычислений. Также, необходимо учитывать вид системы, точнее, вид основной матрицы системы. В общем случае, когда трудно сделать какие-либо выводы о виде матрицы системы, лучше всего использовать универсальный метод Гаусса.

[1] Бахвалов И. В. Численные методы. БИНОМ, 2008. [2] Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. [3] Ильин В.А., Ким Г.Д., Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М., Издательство Московского университета, 1998. [4] Ивлева А.М., Прилуцкая П.И., Черных И.Д., Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие, Новосибирск, 2002. [5] Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. М: Физматлит, 2004. [6] Хеннер Е. К., Лапчик М. П., Рагулина М. И. Численные методы. М: Академия, 2004.