Задачи теории игр

Основная часть3 Задачи теории игр3 Классификация игр7 Основная частьЗадачи теории игр Теория игр - теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, когда принимающий решение субъект ("игрок") располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которыхон в действительности находится, о множестве решений ("стратегий"), которые он может принять, и о количеств. мере того "выигрыша", который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию. Теория игр является естественнымразвитием теорий решения экстремальных задач в условиях вероятностной, статистическойнеопределенности (когда принимающий решения субъект информирован дополнительно об априорных вероятностях каждой из возможных ситуаций). В частности, в рамкахтеории игрыестественно рассматривать модели конфликтов (т.е. явлений, в которых участвуют различные стороны, наделенные различными интересами и возможностями выбирать свои стратегии в соответствии с этими интересами). Таким образом, моделями теории игрыможно в принципе описывать содержательно весьма разнообразные явления: вопросы спортивных состязаний и экономическойборьбы, военные, правовые и классовые конфликты, борьбу человека с природой, биологическуюборьбу за существование и т.д. Все такие модели принято втеории игрназывать играми. Существенно, что теория игрмоделирует не только антагонистическиеконфликты, но и более сложные взаимоотношения сторон – носителей различных интересов. Следует при этом отличать теоретико-игровое понятие антагонизма от философской категории антагонизма. Втеории игрантагонизм понимается более прямолинейно и исчерпывается равенством по величине и противоположностью по знаку выигрышей игроков-антагонистов1 Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб.пособие. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2002. . Важная роль понятия информации в теории игрпредопределяет ее тесную связь с кибернетикой, на основании чеготеория игрквалифицируют иногда как разделкибернетики. Однако в теоретическомотношениитеорию игрследует скорее считать отраслью математики, а в практическом – определеннымуровнем операций исследования. Задачи теории игр относятся к области принятия решений в условиях неопределенности, а их специфика состоит в том, что, как правило, подразумевается неопределенность, возникающая в результате действий двух или более «разумных» противников, способных оптимизировать свое поведение за счет других. Среди типичных примеров такого поведения могут быть названы действия конкурирующих фирм на одном рынке или планирование военных операций. Одним из основных вопросов в задачах с коллективным выбором решений является вопрос об определении оптимальности, т. е. вопрос, какие решения следует признавать наилучшими в ситуации оптимизации по нескольким критериям, отражающим различные интересы. Многие методы решения проблем теории игр основываются на сведении их к задачам математического программирования. Математическоеописание игры сводится к перечислению всех участвующих в ней игроков, указанию для каждого игрока множества всех егостратегий, а также численного выигрыша, который он получит после того, как все игроки выберут свои стратегии.В результате игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу. При современномсостояниитеории игр основнымицелями этого анализа являются2 Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство РДЛ. 2003. : 1) выработка критериев целесообразности ("оптимальности") поведения игроков в тех или иных классах игр, 2) доказательство существования у игроков в таких играх оптимальных стратегий, 3) установление важнейших свойств оптимальных стратегий (и в том числе, если это возможно, формул и алгоритмов для их фактическоговычисления).(Нахождение оптимальных стратегий игроков требует использования сложного технического аппарата современнойматематики, а численное их определение обычно осуществляется с помощью быстродействующей электронной техники.) Для весьма широкого класса игр целесообразным поведением игроков естественно считать их стремление к ситуациям равновесия, т.е. к таким одновременным выборам игроками своих стратегий, что ни для одного из игроков не будет выгодным отклонение от этой ситуации (т.е. односторонняя замена выбранной стратегии иной). Именно ситуации равновесия могут быть предметом договорных отношений между игроками. Поэтому стремление игроков к ситуации равновесия принято называть принципом осуществимости цели. В случае антагонистичныйигр принцип осуществимости цели превращается в принцип максимина (стремление максимизировать минимальный выигрыш, т.е. стремление действовать наилучшим образом в наихудших условиях). Весьма часто игры не имеют ситуаций равновесия, сконструированных из первоначально заданных стратегий игроков. Это, с одной стороны, означает, что в таких играх игроки лишены возможности действовать целесообразно, а с другой – побуждает искать для игроков естественныхдополнительных возможностей поведения. Так, например, можно вместо достоверного выбора стратегии осуществить случайный выбор стратегии (по жребию или даже прибегая к тому или иному из суеверий, находящих тем самым практическоеприменение, хотя и довольно скромное), который называютсмешанной стратегией. Оказывается, что в большинстве практически важных случаев из смешанных стратегий удается строить ситуации равновесия.