Численное решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией результатов

Дифференциальные уравнения широко используются для математического моделирования процессов и явлений в самых разнообразных областях науки и техники. Движение космических объектов, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций в природе, модели экономического развития и т.п., все эти явления исследуются с помощью дифференциальных уравнений. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации, очевидно, встречаются весьма часто.

---

Не бойтесь купить курсовую на заказ , ведь на Work5 работают профессионалы.

---

. В этой связи становится задача поиска решения дифференциального уравнения, которая, вообще говоря, неоднозначна. Среди множества методов решения дифференциальных уравнений, наряду с аналитическими и приближенными, эффективными оказываются численные методы. К численному решению дифференциальных уравнений приходится обращаться, когда не удается получить точного решения и применение приближенных методов также оказывается затруднительным. Численное решение, в отличие от двух вышеприведенных случаев, никогда не покажет общего решения дифференциального уравнения, так как даст только таблицу значений неизвестных функций, удовлетворяющих начальным условиям. На основе этих значений, на практике достаточно часто требуется найти аппроксимирующую функцию, которая бы наилучшим образом сглаживала эмпирические данные, исключая погрешности измерений и случайные отклонения. В основе численных методов лежат достаточно простые идеи, которые приводят к несложным математическим соотношениям. Практическое применение этих соотношений связано с необходимостью проведения немалого объема вычислительной работы, поэтому численные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных вычислительных приложений, таких как MathCad, Microsoft Office Excel, Maple и другие. Цель настоящей работы состоит в численном решении дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией результатов. Для реализации поставленной цели выдвинуты следующие задачи: 1. Описать теоретические основы 1.1. метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений; 1.2. теории аппроксимации; 1.3. теории интерполяции; 1.4. метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. 2. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием на интервале методом Эйлера. 3. Оценить погрешность вычислений при решении данного дифференциального уравнения. 4. Аппроксимировать полученное решение параболой методом наименьших квадратов. 5. Рассчитать погрешность аппроксимации. 6. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации. 7. Составить блок схемы алгоритмов для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчета погрешности аппроксимации средствами пакета прикладных программ MathCad или с помощью электронных таблиц Microsoft Office Excel. На печать выдать: 7.1. значения функции , являющейся решением дифференциального уравнения в точках , найденные с шагом h и с шагом h/2; 7.2. значения аппроксимирующей функции в узлах; 7.3. значение погрешности аппроксимации; 7.4. величину средне - квадратичного отклонения.

Итак, поставленные перед нами задачи выполнены. В первой главе мы рассмотрели теоретические основы метода Эйлера, что позволило нам в дальнейшем выполнить поставленную задачу решения исходного дифференциального уравнения 1 порядка. При этом выяснилось, что являясь численным способом решения, метод Эйлера неточен и дает весьма приближенные результаты. Об этом свидетельствуют достаточно высокие показатели относительной погрешности вычислений. Во второй главе нами рассмотрены понятия и методы аппроксимации, одним из которых является метод наименьших квадратов. Изучив суть метода, нам удалось реализовать соответствующую задачу в отношении найденного приближенного решения и получить аппроксимирующую функцию, которая наилучшим образом сглаживает экспериментальные значения. Найденная аналитическая зависимость позволит в дальнейшем вычислять значения не только в исходных узловых точках, то также и в других, эмпирические значения функции в которых неизвестны. Выяснилось, что погрешность вычислений, выраженная среднеквадратическим отклонением значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функции, достаточно мала и составляет 5%. В третьей главе алгоритмизирован поиск решения дифференциального уравнения методом Эйлера, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации. Построены блок-схемы описанных алгоритмов, которые позволят в дальнейшем автоматизировать данный процесс, реализовав его на любом языке программирования.

1. Бабушка, И., Витасек, Э., Прагер, М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений [Текст] / И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. М.: «Мир», 1969, 368с. 2. Баталова, М.А. Методические рекомендации по разработке, написанию и оформлению курсовых работ [Текст] / М.А. Баталова. Пермь, 2011. 31с. 3. Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст] / Н.С. Бахвалов. М.: Изд-во «Наука», 1975. 632с. 4. Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст] / Н.Н. Калиткин. М.: «Наука», 1978. 512с. 5. Колдаев, В.Д. Основы алгоритмизации и программирования [Текст] / В.Д. Колдаев. М: Изд-во «Форум», «Инфра-М», 2006. 414с. 6. Коллатц, Л. Функциональный анализ и вычислительная математика [Текст] / Л. Коллатц. Пер. с нем. М.: Изд-во «Мир», 1969. 448с. 7. Метод Гаусса [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.wikipedia.org/ 8. Самарский, А.А. Введение в численные методы [Текст]: учебное пособие для вузов / А.А. Самарский. 3-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2005. 288с. 9. Шипачев, В.С. Высшая математика [Текст]: учебник для вузов / В.С. Шипачев. 4-е изд. М.: Изд-во «Высшая школа», 1998. 479с.