Дифференциальные уравнения широко используются для математического моделирования процессов и явлений в самых разнообразных областях науки и техники. Движение космических объектов, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций в природе, модели экономического развития и т.п., все эти явления исследуются с помощью дифференциальных уравнений. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации, очевидно, встречаются весьма часто.
Не бойтесь купить курсовую на заказ , ведь на Work5 работают профессионалы.
.
В этой связи становится задача поиска решения дифференциального уравнения, которая, вообще говоря, неоднозначна. Среди множества методов решения дифференциальных уравнений, наряду с аналитическими и приближенными, эффективными оказываются численные методы. К численному решению дифференциальных уравнений приходится обращаться, когда не удается получить точного решения и применение приближенных методов также оказывается затруднительным. Численное решение, в отличие от двух вышеприведенных случаев, никогда не покажет общего решения дифференциального уравнения, так как даст только таблицу значений неизвестных функций, удовлетворяющих начальным условиям. На основе этих значений, на практике достаточно часто требуется найти аппроксимирующую функцию, которая бы наилучшим образом сглаживала эмпирические данные, исключая погрешности измерений и случайные отклонения.
В основе численных методов лежат достаточно простые идеи, которые приводят к несложным математическим соотношениям. Практическое применение этих соотношений связано с необходимостью проведения немалого объема вычислительной работы, поэтому численные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных вычислительных приложений, таких как MathCad, Microsoft Office Excel, Maple и другие.
Цель настоящей работы состоит в численном решении дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией результатов.
Для реализации поставленной цели выдвинуты следующие задачи:
1. Описать теоретические основы
1.1. метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
1.2. теории аппроксимации;
1.3. теории интерполяции;
1.4. метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
2. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием на интервале методом Эйлера.
3. Оценить погрешность вычислений при решении данного дифференциального уравнения.
4. Аппроксимировать полученное решение параболой методом наименьших квадратов.
5. Рассчитать погрешность аппроксимации.
6. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации.
7. Составить блок схемы алгоритмов для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчета погрешности аппроксимации средствами пакета прикладных программ MathCad или с помощью электронных таблиц Microsoft Office Excel. На печать выдать:
7.1. значения функции , являющейся решением дифференциального уравнения в точках , найденные с шагом h и с шагом h/2;
7.2. значения аппроксимирующей функции в узлах;
7.3. значение погрешности аппроксимации;
7.4. величину средне - квадратичного отклонения.
30 страниц
100% уникальность
2013 год
174 просмотров
