Численная реализация разностных методов решения задач Коши для системы дифференциальных уравнений

Понятие дифференциального уравнения Обыкнове?нные дифференциа?льные уравне?ния (ОДУ)— это дифференциальное уравнение вида (1) где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1). Общие вопросы, примеры и приложения теории ОДУ наиболее полно изложены в [25,26]. Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно- научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой .

---

Студентам интересна цена курсовой работы по конституционному праву. Для того чтобы рассчитать стоимость курсовой работы, заполняйте форму заказа.

---

. Переменная — некоторая величина (или совокупность величин, если является вектор- функцией), изменяющихся со временем. Например, может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида (2) в которых старшая производная выражается в виде функции от переменных и производных порядков меньше . Такие дифференциальные уравнения называются нормальными или разрешёнными относительно производной. В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями. Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие (3) где — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а и — соответственно, фиксированные значения функции и всех её производных до порядка включительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши: (4) При достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнения имеет единственное решение, определенное на некотором интервале оси времени , содержащем начальное значение (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью). Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

Квалификационная работа состоит из Введения параграфов 1-7 основной части и приложения. Во введении даны основные определения, приведена история вопроса, примеры физических приложений, указаны основные литературные источники. В параграфе 1 основной части описаны классические вычислительные методы решения ОДУ такие как метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера и метод Рунге-Кутты. В параграфе 2 дана реализация в пакете Maple указанных классических методов, дан сравнительный анализ их точности. В параграфе 3 описан экстраполяционный разностный метод Адамса. В параграфе 4 приведена его типовая реализация в Maple системе. Отмечена наблюдаемая определенная неустойчивость метода к влиянию ошибок вычислений. В параграфе 5 дано описание интерполяционного неявного разностного метода Адамса и далее, в параграфе 6 дана его реализация в Maple. По результатам проведенного вычислительного эксперимента сделан вывод о значительном повышении устойчивости при использовании неявной формы метода Адамса. В заключительном. Седьмом параграфе даны описание и Maple –реализация неявного разностного метода Коуэлла, основные идеи которого лежат в плоскости использования все более точных разностных аппроксимаций правой части дифференциального уравнения. Отмечены высокие точностные характеристики метода Коуэлла. В приложении приведен полный набор основных и вспомогательных модулей Maple системы программирования, разработанных в ходе реализации описанных численных методов. Библиографический список насчитывает 29 названий.

1. Алексеев Е. Р., Чеснокова О.В., Рудченко Е.А. Scilab: Решение инженерных и математических задач. – М.: ALT Linux; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – с. 260 2. .Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука.1972. — 368 с. 3. Михлин С.Г., Березин С.Г, Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука. 1965. — 386 с. 4. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. издание – М.: Высш. шк., 1994. – с. 544 5. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1975. – с. 632 6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - с. 630 7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – Т1. - М.: Физматгиз, 1962. –, с. 464 8. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – с. 382 9. Гусева И.А., Жмурова И.Ю., Поляков Н.А. Численные методы: Учеб. пособие для студентов стационара и ОЗО вузов и педколледжей. – РГПУ, 2005. – с. 36 10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. – с. 664 11. Исаков В.Б. Элементы численных методов. – М.: Академия, 2003. – с. 192 12. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – с. 512 13. Кунцман Ж. Численные методы. Перевод с франц. /Под ред. Д.П. Костомарова. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. – с. 160 14. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учеб. пособие/Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М.: 2004. – с. 130 15. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. Часть первая: Учеб. пособие. – М.: МГУЛ, 2001. – с. 120 16. Павлова М.И. Руководство по работе с пакетом Scilab/ М.И. Павлова. – Режим доступа: http://www.csa.ru/~zebra/my_scilab.html 17. Плис А.И., Сливина И.А. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 1983. – с. 208 18. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1989. – с. 427 19. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам: Учеб. пособие. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – с. 208 20. Тропин И.С., Михайлова О.И., Михайлов А.В. Численные и технические расчеты в среде Scilab (ПО для решения задач численных и технических вычислений): Учеб. пособие. – Москва: 2008. – с. 65 21. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – с. 304 22. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: 1990. 23. Волков Е.А. Численные методы. – М.: 1987. 24. Воробьёва Т.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. – М.: 1979. 25. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: 1976. 26. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т 1,2. – М.:1965. 27. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. – М.: 1983. 28. Решение задач численными методами: Методические указания к лабораторным работам по информатике. – Н.Н.: 1997. 29. Численное интегрирование дифференциальных уравнений: Методические указания по вычислительной математике и вычислительной технике. – Горький: ГПИ им.