Понятие радиуса описанной около треугольника окружности

Понятие треугольника

Определение: Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой и называемыми вершинами треугольника, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки и являющимися сторонами треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°.

На рисунке изображен треугольник ABC.

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Для начала вспомним некоторые понятия и теоремы, которые важно знать.

Окружность, описанная около треугольника

Определение: Окружность является описанной вокруг треугольника, если на ней лежат все вершины данной фигуры.

Точки A, B и C лежат на окружности с центром O, поэтому данная окружность считается описанной вокруг фигуры.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Теорема 1: вокруг любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Теорема 2: центр описанной окружности у остроугольного треугольника, все углы которого меньше 90°,лежит внутри фигуры.

Теорема 3: центр описанной окружности у прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 90°, принадлежит гипотенузе.

Теорема 4: центр описанной окружности у тупоугольного треугольника, один из углов которого больше 90°, лежит вне фигуры.

К понятию описанной окружности относится теорема синусов: отношения сторон к синусам противолежащих углов в треугольнике равны.

Примечательно продолжение теории синусов: отношение сторон к синусам противолежащих углов в треугольнике равно удвоенному радиусу окружности, описанной вокруг фигуры.

где R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной около треугольника окружности через стороны

Если в условии задачи известны длины всех сторон треугольника, то найти длину радиуса вписанной окружности удобнее всего с помощью площади этой фигуры:

где 

S — площадь треугольника;

a, b, c — длины сторон;

R — радиус описанной окружности.

Площадь можно выразить, воспользовавшись формулой Герона:

где

S — площадь треугольника;

a, b, c — длины сторон;

p — полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Подставим выражение в формулу:

и выразим радиус описанной окружности:

Данную формулу можно использовать для любого треугольника, вписанного в окружность.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности через стороны

Определение: Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием. В равнобедренном треугольнике углы между боковыми сторонами и основанием равны.

То, что в треугольнике хотя бы две стороны имеют равную длину, позволяет упростить формулу, представленную в предыдущем пункте, и записать ее следующим образом:

где 

a — длина боковой стороны;

b — длина основания.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение: Серединный перпендикуляр к отрезку - прямая, проведённая через середину отрезка и образующая с ним прямой угол.

Теорема 5: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре окружности, описанной вокруг этой фигуры.

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

Теперь представим все формулы, по которым можно вычислить длину радиуса описанной окружности.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Начнем с универсальных формул, которые подходят для треугольника со сторонами любой длины.

Как мы выяснили, радиус описанной окружности можно получить, выразив его из теоремы синусов:

либо с помощью формулы площади треугольника, зная длины его трех сторон:

Существуют также формулы для отдельных видов треугольников: прямоугольного и равностороннего.

Прямоугольный треугольник

Мы узнали, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе. И поскольку центр окружности расположен на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника, то получаем интересное свойство:

Теорема 6: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника делит его гипотенузу пополам.

Тогда радиус окружности будет равен половине гипотенузы. На рисунке треугольник ABC — прямоугольный, точка O — центр описанной окружности и середина гипотенузы AB.

Равносторонний треугольник

Определение: Равносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину.

Радиус окружности, описанной около равностороннего многоугольника, можно найти по общей формуле:

где

a — длина стороны правильного многоугольника;

N — количество сторон в многоугольнике.

Тогда, если подставить количество сторон треугольника (N = 3) в формулу, получим частный случай для равностороннего треугольника:

Примеры задач

Задача 1:

Найти длину радиуса описанной вокруг треугольника окружности, если треугольник имеет сторону длиной 15, а угол, лежащий напротив этой стороны, равен 60°.

Решение:

В условии задачи дано: AB = 15; ∠C = 60°.

Удобнее всего при данном условии использовать теорему синусов:

Ответ:

Задача 2:

Треугольник ABC - прямоугольный (∠C = 90°). Известно, что один из катетов равен 8, а прилежащий к нему острый угол составляет 45°. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника ABC?

Решение:

Изобразим на рисунке данные из условия. Пусть BC = 8; ∠B = 45°.

Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а углы B и C равны соответственно 45° и 90°, то угол A составляет 45°. Тогда треугольник ABC — равнобедренный (AC = BC = 8). Тогда по формуле для радиуса описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности:

Ответ:

Задача 3:

Какую длину имеет бОльшая сторона треугольника, если углы треугольника равны 135°, 30° и 15°, а радиус описанной окружности составляет 2√2?

Решение:

Чтобы решить задачу, нужно вспомнить следующее свойство: бОльшая сторона треугольника лежит напротив угла с наибольшей градусной мерой. Значит, искомая сторона лежит напротив угла 135°. Теперь с помощью теоремы синусов мы можем решить задачу. Запишем условие:

R = 2√2; ∠A = 135°; ∠B = 30°; ∠C= 15°.

BC = 2 * 2√2 * sin 135° = 2 * 2√2 * sin 45° = 4√2 * (√2 / 2)  = 4.

Ответ: BC = 4.