Определение: Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой и называемыми вершинами треугольника, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки и являющимися сторонами треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°.
На рисунке изображен треугольник ABC.
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Для начала вспомним некоторые понятия и теоремы, которые важно знать.
Определение: Окружность является описанной вокруг треугольника, если на ней лежат все вершины данной фигуры.
Точки A, B и C лежат на окружности с центром O, поэтому данная окружность считается описанной вокруг фигуры.
Теорема 1: вокруг любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Теорема 2: центр описанной окружности у остроугольного треугольника, все углы которого меньше 90°,лежит внутри фигуры.
Теорема 3: центр описанной окружности у прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 90°, принадлежит гипотенузе.
Теорема 4: центр описанной окружности у тупоугольного треугольника, один из углов которого больше 90°, лежит вне фигуры.
К понятию описанной окружности относится теорема синусов: отношения сторон к синусам противолежащих углов в треугольнике равны.
Примечательно продолжение теории синусов: отношение сторон к синусам противолежащих углов в треугольнике равно удвоенному радиусу окружности, описанной вокруг фигуры.
где R — радиус описанной окружности.
Если в условии задачи известны длины всех сторон треугольника, то найти длину радиуса вписанной окружности удобнее всего с помощью площади этой фигуры:
где
S — площадь треугольника;
a, b, c — длины сторон;
R — радиус описанной окружности.
Площадь можно выразить, воспользовавшись формулой Герона:
где
S — площадь треугольника;
a, b, c — длины сторон;
p — полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).
Подставим выражение в формулу:
и выразим радиус описанной окружности:
Данную формулу можно использовать для любого треугольника, вписанного в окружность.
Определение: Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием. В равнобедренном треугольнике углы между боковыми сторонами и основанием равны.
То, что в треугольнике хотя бы две стороны имеют равную длину, позволяет упростить формулу, представленную в предыдущем пункте, и записать ее следующим образом:
где
a — длина боковой стороны;
b — длина основания.
Определение: Серединный перпендикуляр к отрезку - прямая, проведённая через середину отрезка и образующая с ним прямой угол.
Теорема 5: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре окружности, описанной вокруг этой фигуры.
Теперь представим все формулы, по которым можно вычислить длину радиуса описанной окружности.
Произвольный треугольник
Начнем с универсальных формул, которые подходят для треугольника со сторонами любой длины.
Как мы выяснили, радиус описанной окружности можно получить, выразив его из теоремы синусов:
либо с помощью формулы площади треугольника, зная длины его трех сторон:
.png)
Существуют также формулы для отдельных видов треугольников: прямоугольного и равностороннего.
Прямоугольный треугольник
Мы узнали, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе. И поскольку центр окружности расположен на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника, то получаем интересное свойство:
Теорема 6: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника делит его гипотенузу пополам.
Тогда радиус окружности будет равен половине гипотенузы. На рисунке треугольник ABC — прямоугольный, точка O — центр описанной окружности и середина гипотенузы AB.
Равносторонний треугольник
Определение: Равносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину.
Радиус окружности, описанной около равностороннего многоугольника, можно найти по общей формуле:
где
a — длина стороны правильного многоугольника;
N — количество сторон в многоугольнике.
Тогда, если подставить количество сторон треугольника (N = 3) в формулу, получим частный случай для равностороннего треугольника:
Задача 1:
Найти длину радиуса описанной вокруг треугольника окружности, если треугольник имеет сторону длиной 15, а угол, лежащий напротив этой стороны, равен 60°.
Решение:
В условии задачи дано: AB = 15; ∠C = 60°.
Удобнее всего при данном условии использовать теорему синусов:
Ответ:
Задача 2:
Треугольник ABC - прямоугольный (∠C = 90°). Известно, что один из катетов равен 8, а прилежащий к нему острый угол составляет 45°. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника ABC?
Решение:
Изобразим на рисунке данные из условия. Пусть BC = 8; ∠B = 45°.
Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а углы B и C равны соответственно 45° и 90°, то угол A составляет 45°. Тогда треугольник ABC — равнобедренный (AC = BC = 8). Тогда по формуле для радиуса описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности:
Ответ:
Задача 3:
Какую длину имеет бОльшая сторона треугольника, если углы треугольника равны 135°, 30° и 15°, а радиус описанной окружности составляет 2√2?
Решение:
Чтобы решить задачу, нужно вспомнить следующее свойство: бОльшая сторона треугольника лежит напротив угла с наибольшей градусной мерой. Значит, искомая сторона лежит напротив угла 135°. Теперь с помощью теоремы синусов мы можем решить задачу. Запишем условие:
R = 2√2; ∠A = 135°; ∠B = 30°; ∠C= 15°.
BC = 2 * 2√2 * sin 135° = 2 * 2√2 * sin 45° = 4√2 * (√2 / 2) = 4.
Ответ: BC = 4.
