Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Существует три принципа равенства треугольников. Разобрав эту тему, вы сможете быстрее и проще справиться с более сложными задачами, которые встретятся в период учебы и не только. Приведенные свойства максимально простые для понимания и применения на практике.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

Доказательство равенства:

Даны два треугольника АВС = А1В1С1. Где линия АВ = А1В1, а линия АС = А1С1, параметры А и А1 между этими линиями будут идентичными. 

Для доказательства идентичности этих фигур необходимо наложить одну на другую. Поскольку расстояния А и А1 одинаковы —стороны АС и АВ будут попарно равны с А1С1 и А1В1. Наложение форм показывает совпадение всех точек друг с другом. Исходя из этого, при наложении совпадут стороны ВС и В1С1. Теорема будет доказанной совмещением чертежей, затем полным совпадением линий, вершин.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Сравниваем два чертежа АВС и А1В1С1. Дано, что у геометрической фигуры линии АС = А1С1. Также одинаковыми должны быть вершины А, А1 и С, С1.

Решение:

1. При наложении АВС и А1В1С1 друг с другом точками А, А1, то В, В1 будут лежать по одну сторону от А1С1 и АС. Тем самым эти грани накладываются друг на друга и будут считаться одинаковыми. Из этого вытекает, что точки С и С1 совпадут. 
2. Тем самым расстояния А, А1 идентичны как стороны АВ и А1В1. С = С1, то линия СВ накладывается на С1В1.
3. Линии АВ, СВ сходятся в точке В, как А1В1 с С1В1 в вершине В1. Эти точки совпадают при наложении. 
4. Соответственно, вторая теорема идентичности форм
5.  АВС и А1В1С1 доказана. 

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то они равны

Доказательство:

Расположим их так, чтобы линия АС совместилась с А1С1. При этом углы В и В1 располагались по разные стороны от этой граница соединения. Существует три способа доказать теорию на основе этого третьего принципа и полученного рисунка:

Первый способ доказательства. Поскольку АВ = А1В1, то будет верно утверждение соразмерности углов АВВ1, АВ1В. Аналогичным будет показатель размера ВВ1С и В1ВС. Из этого следует, что размер В = В1. При выполнении этих условий грани также будут симметричны. Теорема считается доказанной.

Второй способ доказательства третьего свойства. При идентичности длинны АВ и А1В1 одинаковыми будут вершины АВВ1, АВ1В. При этом одинаковыми становятся углы В1ВС и ВВ1С. Как разность этого получается сопоставимость В и В1. Аналогично выводу теорема считается доказанной. 

Третий способ доказать свойство сводится к приведению теоремы к первому закону. Граница ВС равна В1С1. При достижении этого условия симметричными становятся вершины АВС и АВ1С. Согласно первой теореме они являются симметричными. 

Существуют другие признаки равенства треугольников?

Законов и условий, доказывающих равенство больше тех трех. Из более известных изучаемых условий есть:

• закон доказательства аналогичности размеров прямоугольных треугольников;
• закон равенства по двум граням, затем углу, противоположному большей стороне с аналогичными данными второй фигуры. 

Одну и туже задачу всегда можно решить разными способами и применять не один закон равенства.

Примеры задач

Первая задача.

Даны две геометрические фигуры KMN и KPE (рис.1), где сторона KN равна KP.

Решение. Так как углы MKN, PKE вертикальные, следовательно, они будут идентичными. Исходя из данных, приведенной задачи и условий рисунка, а также 2 признака, они считаются симметричными.

Вторая задача.

Даны два треугольника ABO и DOC (рис.2), где сторона AO равна OC, DO равна OB. Эти условия отражены на рисунке соответствующими обозначениями.

Решение. Углы AOB и COD вертикальные и, как следствие, идентичные. Учитывая эти данные и первый закон формы ABO и DOC считаются симметричными.

Третья задача. Дано два треугольника TFS и FSL (рис.3), где TF равна LS. Линия FS становится общей для двух форм. Исходя из первого условия идентичности треугольников, точки F и S будут аналогичными, как и сами чертежи TFS и FSL.

Четвертая задача. Необходимо доказать равнобедренность треугольников, если высота и биссектриса, начерченные из одной вершины, одинаковы по длине.

Дано: треугольник с углами АВ и С. Высота равна биссектрисе АР. 

Решение: чтобы доказать, что АС = ВС и фигура является равнобедренным, необходимо доказать идентичность АСР и РСВ. 

В данном случае применяется второй признак равенства фигур. 

1. Поскольку СР — это биссектриса, то РСА = РСВ, ведь биссектриса делит это расстояние ровно пополам.
2. По условиям задачи СР является высотой и биссектрисой АВС, следовательно, параметры АРС = ВРС. 
3. Общей стороной геометрических форм является сторона СР. Согласно второму закону АСР = РСВ. Из этого следует, что линии АС и ВС равны. При выполнении этих условий АВС является равнобедренным.