Действия с дробями: правила, примеры, решения

В школьном курсе математике обучающийся столкнется с темой дробей и проведения различных действий с ними. Предварительно ознакомьтесь с особенностями, рассмотреть пошаговое руководство к действию, а также наглядные пособия, на основании которых можно будет без проблем усвоить материал.

Главное в изучении и анализе материалов, особенно в таких точных науках, как математика, – это практика. Без него даже простые темы покажутся неразрешимыми и сложными. Нужна последовательность возрастающей сложности, ведь если начать сразу с многоэтапных заданий, можно разочароваться в своих силах и потерять веру в себя.

Правила, обязательные при решении упражнений

Итак, человеку надо будет разобраться с тем, какие именно правила должны использоваться для решения задач, а также как можно будет дойти до верного ответа. Ученики привыкли, что при составлении дробного выражения используются цельные числа, которые имеют стандартный вид и оказываются простыми в понимании, но он может столкнуться с усложненными вариантами:

Получается, что при записывании уравнения могут попадаться числа, сложные выражения, которые дополнительно может потребоваться преобразовывать перед реализацией вычислений. Выполнение простых алгебраических расчетов может вызвать ряд проблем, справиться с которыми будет непросто.

Существует свод общих правил, которые применимы к уравнениям любого типа. Сюда относят следующие пункты:

• Процессы сложения и вычитания записей с равными знаменателями предполагают запись числителя в единое уравнение и прописывание в нижней части общего числа или выражения (с ним действия не проводятся). Переменные не должны равняться нулю

• В случае, если нижняя часть отличается – требуется предварительное приведение к общему знаменателю. Для этого происходит умножение всей дроби на определенное число так, чтобы снизу получились равные показатели. При этом ни одна из перемененных не должна иметь нулевого значения 
• При реализации умножения не нужна подготовка – последовательность шагов, как и при стандартном расчете. Верхняя часть умножается на верхнюю, нижняя – на нижнюю. Правило с отсутствием нулевых значений сохраняется 
• Процесс деления оказывается несколько сложнее – требуется выполнить переворот делителя, после этого перейти на умножение. То есть числитель первой дроби умножается на знаменатель второй и наоборот 

Подробный разбор правил

При работе с математическими задачами требуется дополнительно опираться на понятия, важные в науке:

• Дробная черта означает знак деления
• Деление на дробное выражение рассматривается как процесс умножения на то же значение, но представление в обратной вариации
• Свойство действий должно применяться при вычислениях
• Свойство неравенств и неравных дробей также должно применяться, чтобы получить верный ответ вычислений

При учете описанных моментов можно упросить процесс проведения вычислений и получить более достоверные результаты. Рекомендации и правила простые, но надо дополнительно рассматривать наглядные материалы, которые помогут разобрать последовательность шагов для достижения окончательного ответа.

Варианты решения

Может потребоваться проведение упрощения, так как часто просится представить ответ в конечном варианте записи. Если этого не сделать – может последовать снижение баллов за несоблюдение прописанных условий.

Например, может потребоваться упрощение итоговой записи при сложении восьми двух целых семи десятых и одной двух целых семи десятых. Процесс решения примера простой – требуется реализовать действий, после этого избавиться от десятичной записи в нижней части и реализовать деление. Расчеты видны так:

Обучающемуся придется сталкиваться со сложными дробными уравнениями, в которых, присутствуют корни и логарифмы. Не стоит пугаться задач, поскольку надо выполнить простое преобразование или даже реализовать запись готового ответа без проведения вычислений. 

Пример:

В приведенном примере реализовывать процесс приведения к одному значению под чертой – не пришлось, однако в случае, если они будут отличаться – пропускать его нельзя. Потребуется предварительно получить единый результат, после этого осуществить вычитание. Иногда умножение не реализовывается, так как возможности осуществить его - нет, этого не требуют поставленные условия. Тогда потребуется запись множителей в едином стиле и работа только с верхней частью для достижения варианта:

Перемножение знаменателей для общей вариации – сложный и даже нерентабельный процесс, так как он причина возникновения путаницы и проблем с получением результата. Иногда требуется предварительно проверить, имеется ли число, которое может оказаться меньше по значению, чем произведение, чтобы упростить вычислений.

Конечно, в процессе обучения потребуется и проведение деления – на умножении программа не может быть считаться освоенной. Будут попадаться сложные варианты, потребующие изменений и множества времени для ознакомления и разбора. Например, следующий:

Выполнение действие с дробями с переменными

В случае, если добавляются переменные – ситуация может показаться сложнее, но ничего не изменяется. От обучающегося требуется следование тем же рекомендациям, которые рассматривались ранее, а также соблюдение установленных норм в математике, которые действуют при изучении любой темы, без исключений.

Переменные не должны принимать нулевого значения, так как представленная запись считается неверной. Переменные могут принимать положительные или отрицательные значения, с которыми в можно будет реализовать расчеты.

При соблюдении области допустимых значений, ранее рассмотренные равенства общего вида для дробных выражений верные при решении алгебраических задач с переменными, изучения дополнительных материалов по теме – не потребуется.

Примеры сложения и вычитания дробей, содержащих переменные

Просмотр наглядных материалов положительно сказывается на понимании сложных тем, а поэтому на них стоит обращать внимание вне зависимости от того, что именно изучается.

В случае, если при решении математического задания возникают сложности –  проделывайте действия на основании найденного примера. Можно будет контролировать процесс, что повысит вероятность положительного исхода. При рассмотрении примеров решать задания аналогичного типа, даже если ранее рассмотренные определения и правила были не весьма понятными. Это повысит качество самостоятельного обучения без учителей и репетиторов.

Теперь можно переходить к рассмотрению вариаций с переменными.

В представленной вариации показатели под дробной чертой оказываются одинаковыми, из-за чего предварительного умножения и дополнительных подсчетов – не требуется. Но не всегда будут аналогичные ситуации. Иногда задания будут усложняться, для получения ответа потребуется приведение к равным выражениям, как в следующей ситуации: 

Тут все однозначно и просто – проводится перемножение и получается нужный итог. Но, если ученик ранее уделял внимание теме формул сокращенного умножения, то он увидит, что можно будет развернуть представленный знаменатель в виде перемножающийся скобок, упроститься получение ответа. Первым шагом от ученика потребуется использовать формулы сокращенного умножения, при помощи которых получится, что:

После этого остается только вернуться к начальному примеру и довести его до конца, тем более, ситуация стала в разы проще:

Конечно, приведение неравных знаменателей к единому варианту при сложении и вычитании – обязательный процесс, отказаться от реализации которого возможности не представляется. Ответ не будет достоверным, из-за чего все равно придется вернуться к начально установленному принципу осуществления расчетов.

А что делать если в нижней части появится дополнительное действие, например, умножение? Как справляться с ситуацией? Для наглядности можно рассмотреть вычисление: 

Добавление знака умножения в знаменателе может смутить обучающегося, на деле сложностей с реализацией расчетов возникать не должно, так как процесс сводится к нахождению общего выражения под чертой. То есть потребуется привести все к виду – 3 умноженное на корень в седьмой степени из х плюс 2 умноженной на корень из двух и все, что располагается после 3, должно находиться в скобках, так как это отдельное выражение до момента реализации каких бы то ни было преобразований. Остается пройти следующие шаги:

Сведения остаются в прошлом виде – задачи редко требуют избавление от всех знаков умножение и деления. Но даже в случае, если потребуется это сделать – достаточно просчитать все стандартным способом как при решении любого иного математического примера.

Примеры умножения дробей с переменными

Следующим шагом требуется ознакомиться с правилами работы с переменными, с которыми ученик столкнется при прохождении школьного курса по математике. С переменными работать сложнее, но следование разобранному пошаговому руководству позволит убрать риски проявления проблем, повысить шанс достижения достоверного ответа без получения посторонней помощи и использования вычислительной техники.

Для разбора пошагового руководства к действию можно взять вариант:

Пример

Ничего особенного в умножении обучающийся не встретит – процесс проводится стандартным образом без дополнительных шагов, требуется мало времени. В результате получится запись:

Чтобы сделать итог «красивее», или же привести его у стандартному виду записи, рекомендованному к использованию как в школах, так и средне-специальных и высших заведениях, потребуется перенести 3 в начало записи, а элементы оставить на прежних местах без изменений:

Совет: Корректную форму записи рекомендовано использовать чтобы упростить проверку полученного результата учителями и профессорами, но и для удобства обучающегося. Если последовательность всегда будет соблюдаться – риск упустить элемент при осуществлении математических действий сведется к минимуму, риск допущения ошибки будет понижен.

Как проводится деление?

Рассматривая алгоритм деления,  отметим, что он оказывается аналогичен умножению, ведь по основному правилу требуется реализовать умножение первого дробного выражения на второе, представленное в обратной вариации. Получается, что расчеты не потребуют получения нового багажа знаний для достижения итогового ответа – если тема умножения была понята и усвоена, а также не возникало проблем с самостоятельным решением уравнений, вероятность того, что сложности возникнут при реализации самостоятельного процесса деления – минимальна.

Важно! Умножение проводится накрест или исключительно на перевернутое выражение (обратное). Нельзя одновременно использовать оба эти способа деления, так как в таком ответ будет неверным. Учителя часто рекомендуют переворачивать вторую дробь, чтобы просто не запутаться в последовательности действий в последующем, при этом изменяя знак деления на знак умножения, или осуществить запись умножения в подобающем виде при записи чисел накрест. Оба варианта оказываются простыми в реализации, главное – сразу выявить, что на что требуется перемножить, так как иначе есть риск появления путаницы.

Если при проведении деления возникли проблемы – стоит вернуться в начало и проверить, корректно ли была записана форма умножения. Часто на первых примерах ученики или забывают перевернуть дробь, при этом изменяя знак, или переворачивают ее, после этого используют способ записи накрест, из-за чего также получается недостоверный итог. Первое действие по преобразованию самое важное – от него зависит корректность последующих шагов и подсчетов.

Если надо поделить три пятых на семь десятых, по итогу получится, что три пятых необходимо умножить на десять седьмых, то есть три на десять и пять на семь. Получается тридцать пятых. Можно будет сократить обе части на пять, и тогда получится шесть седьмых.

Могут появиться задания повышенной сложности, в которых присутствуют синусы и переменные, логарифмы, пробные выражения, корни и пр.

Возведение в степень

Последняя тема, требующая внимания со стороны ученика – возведение в степень. Дроби ничем не отличаются от стандартных выражений в математике, следовательно, возведение в степень реализуется по стандартным правилам. Каждое отдельное значение, представленное в дробном варианте, возводится в степень по отдельности – это установленная норма, нарушение которой не допускается.

В случае, если во вторую степень требуется возвести три пятых, отдельно возводится три и отдельно понять. Получается девять двадцать пятых – это и будет итоговый вариант. Получается, что процесс не столь сложный, как могло показаться изначально, главное – ничего не упустить, в особенности в сложных вариантах записи.

Важно: До начала возведения можно будет упростить запись внутри скобок, сократить ее по возможности, использовать формулы приведения, сокращенного умножения и пр. Чем проще окажется внутренний вид, тем проще будет процесс возведения в степень. 

Конечно, иногда просто оставить так как был представлен ранее, однако педагог, в особенности в профильном заведении, может потребовать раскрытие скобок и приведение к рекомендованному виду, из-за чего сложное уравнение станет причиной возникновения сложностей и проблем.

Правильная последовательность шагов при решении уравнений с дробями

Действия с дробями проводятся в соответствии с правилами. При рассмотрении теоретических материалов и при самостоятельном решении упражнений можно заметить, что уравнение может содержать несколько дробей, которые располагаются последовательно и требуют выполнения действия. Если подобное происходит – ученик обязан соблюдать принятую последовательность шагом при решении уравнений с дробями, так как иначе оно будет  оценено как неверное. В математике присутствуют правила, в соответствии с которыми умножение и деление проводятся сразу, после этого сложение и умножение, причем все расчеты проводятся слева направо. 

Исключение: скобки, которые просчитываются первыми, но при соблюдении тех же описанных правил. Допускается открытие скобок, что упростит запись и позволит распределить шаги в точной последовательности.

Если потребуется провести расчет следующего примера:

Пример

Первыми рассматриваются скобки. В них представлено простое сложное, которое требует создания общего знаменателя для достижения результата. Единица – это одна первая при переводе в требуемое значение, следовательно, можно будет просто обе части умножить на корень из икс и получится нужный знаменатель. Остается провести действие, после которого получится, что в нижней части остается корень из икс, а в верхней образуется уравнение вида корень из икс плюс один.

Скобки считаются раскрытыми, стоит переписать новый пример для упрощения понимания последовательности шагов. Последовательность записи не изменяется – полученная дробь записывается на место, где ранее располагались скобки:Следующий шаг, в соответствии с ранее расписанной последовательностью, умножение. Оно простое, так как не требует приведений или использования формул – числители и знаменатели перемножаются между собой. Получается, что косинус икс * на корень из икс, а единица * на корень из икс плюс один. Получается, что в нижней части оба значения прописываются со знаком умножения, а в верхней ничего не изменяется, так как перемножение с единицей не приноси никаких изменений.

Снова рекомендуется прописать полученный ответ на месте проведенного вычисления, чтобы в будущем не путаться.

Вот и осталось одно действие, которое, на деле, оказывается не столь сложным. Значения под чертой не совпадают, привести их к единой вариации легко, поскольку требуется только добавить корень из икса как в верх, так и вниз. Вот и все, остается реализовать вычитание и получится ответ.

Часто ученикам кажется, что разобранные материалы, несмотря на приведенные пошаговые руководства, оказываются сложными для самостоятельного решения и понимания. Требуется уделить 1-2 часа на наработку практических умений, после этого на любое упражнение будет требоваться не более 5 минут, даже при наличии корней, логарифмов, синусов и косинусов, дополнительных черт и пр.

В школьном курсе математики школьник познакомится с темой дробей и различных действий. Заранее ознакомьтесь с особенностями, рассмотрите пошаговое руководство к действию, а также наглядные пособия, на основе которых вы легко усвоите материал.  

Человек должен будет понимать, какие именно правила следует использовать для решения задач, а также как можно будет получить правильный ответ. Студенты привыкли, что при составлении дробного выражения используются целые числа, которые имеют стандартный вид и просты для понимания, но могут встречаться усложненные варианты:

Оказывается, при написании уравнения можно встретить числа, сложные выражения, которые, возможно, дополнительно нужно будет преобразовать перед выполнением вычислений. Выполнение простых алгебраических вычислений может вызвать множество проблем, с которыми будет непросто справиться.

Главное в изучении и разборе материалов, в особенности в точных науках по типу математики, практика. Без нее даже простые темы будут казаться нерешаемыми и сложными. Требуется последовательность повышения сложности, ведь если начать сразу с многоступенчатых задач – можно разочароваться в собственных силах и потерять уверенность в себе.