Определение Вектор — это направленный отрезок, у которого есть начало и конец.
Геометрический смысл вектора заключается в его направлении и длине. Направление вектора показывает, куда направлено движение, а его длина отражает масштаб и интенсивность этого движения.
Геометрически вектор представляется стрелкой, начало которой указывает на начальную точку, а конец — на конечную.
Физический смысл вектора заключается в способности описывать различные величины, имеющие и направление, и величину. Вектор может представлять собой различные физические величины, например, скорость, ускорение, силу и т.д.
Вектор скорости указывает направление движения и ее величину. Вектор силы показывает направление, в котором действует сила. Эти векторы позволяют точно определить, как объект движется самостоятельно или взаимодействует с другими объектами в пространстве.
Вектор обозначается знаком →, например 
. Вектор может выражаться как одной латинской буквой, так и сочетанием букв, одна из которых будет являться его началом, а другая — концом.
Определение Модуль или длина вектора — это длина данного отрезка, которая больше или равна нулю.
Длина вектора a обозначается |a|.
Модуль вектора не может быть отрицательным, в какую бы сторону он не направлялся. Однако вектор может быть нулевым.
Определение Нулевым является вектор, у которого начало совпадает с концом. Он обозначается так:
.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Формула
Длиной вектора, заданного координатами, является квадратный корень из суммы его координат.
Заметка Если вектор задан в трехмерном пространстве, то есть
, то его длина вычисляется по формуле:
Пример 1:
Дан вектор 
. Вычислите его длину.
Решение:
Пример 2:
Найдите длину вектора 
по его координатам 
Решение:
Пример 3:
Найдите координату x вектора 
, если его координата у = 6, а 
= 10.
Решение:
Если даны две точки 
и 
, то вектор AB будет иметь координаты 
.
Формула
Длина вектора AB равна квадратному корню из суммы квадратов разности координат между координатами точек A и B.
Получается, существует последовательность действий для расчета длины вектора, если даны координаты точек его начала и конца. Например, дан вектор CD, где 
и 
.
.
.Аналогичные расчеты проводятся в случае, если вектор располагается в трехмерном пространстве. Например, вектор CD, у которого 
и 
.
Пример 1:
Вычислить длину вектора 
, если 
.
Решение:
Пример 2:
Даны точки С (1;2;3) и D (3;4;5). Вычислите длину вектора CD.
Решение:
В случаях, когда координаты точек не указаны, длина вектора вычисляется с применением теоремы косинусов.
Заметка Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула: 
при этом 
Пример:
Длина вектора KL равна 2, а вектора KM равна 4. Вычислите длину вектора LM, если угол между KL и KM равен 
.
Решение:
В треугольнике LMK длина вектора LM равна стороне LM. Также стороны KL и KM равны длинам соответствующих векторов. Поскольку нам известен угол между векторами, найдем сторону LM в треугольнике KLM:
Вычисление векторов в геометрии играет ключевую роль в анализе пространственных объектов. Они необходимы для:
Таким образом, вычисление векторов является важным инструментом для анализа и решения различных задач в геометрии и связанных с ней областях науки.
