Формулы двойного угла в тригонометрии

Тригонометрия — достаточно сложный раздел, который изучают в школах и высших учебных заведений. Она включает в себя множество разделов, в том числе — тему нахождения двойных углов. Они рассчитываются по специальным формулам. 

В первую очередь нужно разобраться, что относится к основным тригонометрическим понятиям. Это:

• синус угла — отношение катета ∠ к гипотенузе;
• косинус — деление прилежащей стороны треугольника на гипотенузу;
• тангенс — отношение синуса к косинусу или катета напротив ∠к прилежащему;
• котангенс — деление косинуса на синус, или стороны прилежащей к ∠ на противолежащую.

Нужно понимать, что означает каждое из этих понятий, а также уметь находить их на схемах и рисунках, если это предполагают условия задачи. 

Чтобы разобраться в теме и понять, как выражаются тригонометрические функции двойных ∠, необходимо воспользоваться их записью в виде nα, где n принадлежит натуральному числу. Значение основного выражения отображается математически без скобок. Используя это свойство, можно составить следующее уравнение: sin nα = sin (nα).

Для приведения произведения sin nα * sin nα, используется аналогичное свойство. Выражение можно упростить до 2(n sin α). Основой тождества является n sin α

Ели нам нужно найти двойной угол синуса, косинуса и т.д., нужно придерживаться следующих формул.

Список формул двойного угла

К формулам двойного ∠ относятся:

Все они нужны для упрощенного решения задач, чтобы механизмы и алгоритмы решения были понятны всем. О каждой из представленных формул следует поговорить подробнее, чтобы понять, что они собой представляют. Однако в первую очередь следует понять, что означает каждая из тригонометрических функций, какие у нее есть отличительные черты и чем они отличаются друг от друга. 

Cинус

Синус нужно рассматривать на примере прямоугольных треугольников, то есть тех, у которых один ∠ прямой. Именно соотношение сторон в таких треугольниках и лежат в основе всей тригонометрии как дисциплины.

Если говорить о синусах, то нужно представит прямоугольный треугольник и буквенное обозначить его как АВС. — прямоугольный. СВ при этом будет гипотенузой, а АВ и АС, соответственно, катетами. 

В этом случае синус можно графически обозначить как sin a = AВ/СВ, поскольку, как нам уже известно из приведенного выше описания, синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус

Чтобы рассмотреть, что такое косинус, можно обратиться к тому же прямоугольному треугольнику, что был указан в примере выше. Соответственно углом cos a будет выступать соотношение СА/CB, поскольку косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Зачастую значение косинуса выражается через синус. 

Тангенс

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Соответственно, если мы обратимся к указному выше примеру и конкретному треугольнику, то получим, что tg a= AB/СА.

Котангенс

Котангенс противоположен тангенсу. Соответственно, котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Если снова возвращаться к указанному ранее примеру, то ctg a = CA/AB.

Теперь, когда мы подробнее разобрались с терминологией, будет понятно, что именно представляет собой та или иная функция. Соответственно, решение задач, где они фигурируют, станет еще проще. 

Доказательство формул двойного угла

Любую формулу в геометрии необходимо доказывать, чтобы убедиться, что она работает. С формулами двойного ∠ необходимо сделать то же самое.

Для доказательства в первую очередь нужно использовать формулы синуса с плюсом для углов (α+β) и косинуса  для β и α. По завершению этого действия получится синусα*косинусβ+косинусα*синусβ. С вычитанием все обстоит аналогичным образом. Результат будет выглядеть как: соsa*cosβ-синусa*синусβ.

Если по условиям нужно вычислить разницы, следует действовать аналогичным образом. В итоге должно получиться, что косинус (α+α) равен двойному значению косинуса минус двойное значение синуса. Таким образом формула двойного ∠ косинуса и синуса будет доказана.

С тангенсами и котангенсами следует действовать аналогичным образом. Их доказательства выглядит следующим образом:  

tg2α=2∗tgα/1−tg²α

ctg2α=ct²a−1/2∗cta

Таким образом все четыре формулы будут доказаны. Однако, чтобы убедиться в их справедливости окончательно, нужно проверить их работу на практике с реальными задачами.

Примеры использования формул двойного угла

В качестве примера доказательства правдивости формулы для синуса возьмем за основу, что его величина — 40 градусов. Если записывать это графически, то получится, что a=40°. Таким образом делаем вывод, что 2а — это 80°. Далее делаем расчеты, исходя из описанных выше алгоритмов. 

sin 80° = 2·sin 34°·cos 40°, cos 80° = cos2 40° - sin2 40°

Соответственно, получаем верное решение. По этим же данным можно рассчитать формулу и для тангенсов и котангенсов 

tg 80°= 2·tg 40°1-tg2 40°

Таким образом мы можем сделать вывод, что на практике формулы работают. Для более детальной проверки можно прорешать несколько выражений с разными переменными. 

Область применения формулы двойного угла

Чтобы определить значение тригонометрической функции, их нужно рассматривать на окружности с радиусом в единицу и взаимно перпендикулярными диаметрами. Для вычислений потребуется отложить от точки, принадлежащей окружности, дуги любых длин. Они будут положительными, если их отложить против часовой стрелки. 

Отрицательное значение принимают только те, которые размещены по часовой стрелке. Если конец дуги имеет длину f, тогда проекция радиуса на любом диаметре примет значение косинуса дуги. Под аргументом понимается число, которое рассматривается геометрически как f либо радианная мера ∠. Если аргумент тригонометрической функции взят за угол, тогда его значение выражается и в градусах. Доказано, что значение острых углов больше нуля, но меньше p/2. Для таких величин тригонометрической функции рассматривается как отношение катетов к гипотенузе. Эти элементы принадлежат прямоугольному треугольнику. Название связано с наличием ∠ 90 градусов. 

Для решения задач с тригонометрическими функциями используется и всем известная теорема Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Так можно сделать вывод, что решать подобные задачи можно различными способами.

Продемонстрировать решение задач можно на реальных примерах:

Задача №1: Представлен ∠  отличный от 2a, например 3π5. Нужно найти его значение. 

Решение: угол 3π5 необходимо преобразовать. Получается a = 3π5:2 = 3π10. Из результата следует, что ФДУ для косинуса принимает следующий вид: cos3π5 = cos23π10 — sin23π10. 

Задача 2: Нужно представить sin2a4 через функции, когда a = 9.

Решение: заменить 2a4 = 4·a9. Если подставить данные, получится sin2a3. Выражая через функцию, принимая формулу двойного угла, записывается выражением: sin2a4 = 2*sin a 4·cos a 4. Используя co sa 43, применяя sin2a2, получится результат sin2a4 = 4·sina9·cos4a9 − 4·sin3a9·cosa9

В итоге мы получаем готовое решение задач. Стоит понимать, что приведенные примеры являются одним из множества аналогичных. Решать их следует в зависимости от данных условий по приведенным алгоритмам. 

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Помимо двойных ∠ бывают также тройные и четверные, а также задачи на их нахождение. Они встречаются гораздо реже, однако их также нужно уметь решать. По аналогии двойными углами, в данном случае вычисления также происходит по формулам.

Так выглядит базовая запись для синусов:

sin 3a = sin (2a + a) = sin 2a * cos a + cos  2 a * sin a = 2 * sin  a * cos a * cos  a +  ( cos²a — sin²a) * sin a = 3 * sin a * cos²a — sin³a

Если заменить cos²α, на выражение 1 — sin²α, то получившаяся ранее формула тройного ∠sin 3a =3 * sin a * cos²a — sin³a, примет следующий вид: sin 3a =  3 * sin a * cos²a — sin³a = 3 *sin a — 4* sin³a.

Аналогично ситуация обстоит с формулой тройного угла для косинуса:

cos 3a = cos ( 2 a + a) = cos 2a * cos a − sin 2a*sin a = (cos²a — sin²a) * cos a − 2* sin a* cos  a* sin a = cos³a − 3* sin²a * cos a.

Если заменить sin²α  на выражение разности единицы и косинуса, 1 — cos²α,  то выйдет следующая формула: cos 3a = -3 * cos a + 4* cos³a.

После выявления формулы тройного ∠синуса и косинуса, можно вывести и формулы тройного угла для тангенса и котангенса:

tg3a = sin3acos3a = ctg3a — 3·ctga3·ctg2a — 1

По аналогичной схеме можно вывести формулу четверного угла, если того требуют условия задачи.

Подводя итоги, мы делаем вывод, что можно разложить производные синуса и косинуса, если ∠имеет любой градус. Решение тангенса потребуется, если в основе задачи находится tg2a, при этом значение угла отлично от суммы π4 и π2. Частный случай, когда в задании есть целое число z, а α ≠ π4 + π2·z. Если рассматривать для котангенса ФДУ при любом альфа, ctg2α не определён на промежутке π2. Для косинуса двойного угла характерна тройная запись.

При вычислении разницы следует придерживаться аналогичного принципа. Результат будет следующим: косинус (a+a) равен двойному значению косинуса минус двойное значение синуса. Формула двойного ∠ косинуса и синуса доказана. При решении задач из дидактических материалов используются и другие уравнения при положительном и отрицательном значении альфа, при нуле либо половинном π.

Тригонометрия — древнейшая наука, в которой множество сложностей. Однако если разобраться с основными понятиями и формулами, процесс решения задач и выявления доказательств пойдет гораздо проще.