Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило

Формулы приведения

Когда впервые слышишь этот термин, то на ум сразу приходят сцены из голливудских фильмов ужасов. На самом деле все не так страшно, ведь за основу термина взято понятие «приводить», а не «привидеться». Поэтому эти формулы по ночам не приходят и никого не пугают. Кроме конечно тех случаев, когда вы с ними не знакомы. Специально для этого мы с ними сейчас и познакомимся. 

Их задача состоит в том, чтобы функции с неудобно записанным аргументом приводить к такому виду, когда они выглядят привычно и легко вычисляются. С помощью этой таблицы тригонометрические функции произвольных углов приводятся к тригонометрическим функциям углов от 0⁰ до 90⁰, или от нуля до  π/2 в радианах. 

Учитывая, что окружность состоит из 360⁰, работать с подобным диапазоном очень удобно. Формулы в таблице записаны в радианах, для того, чтобы записать их в градусах нужно заменить π на 180⁰, π/2 на 90⁰, 3π/2 на 270⁰, а 2π на 360⁰. При этом подразумевается, что угол a всегда находится между 00 и 900, а, следовательно, является острым.

Зная и применяя эти формулы во время сдачи экзаменов, написания контрольных работ или выполнения домашних заданий, можно сэкономить время на дополнительные вычисления. Это будет большим плюсом, когда под рукой нет справочника или калькулятора. При этом нет необходимости заучивать всю таблицу целиком. Существует целый набор приемов, с помощью которых можно пользоваться данными из нее и не учить их наизусть. Далее мы разберем эти приемы и правила более подробно. А пока сосредоточимся на конкретных примерах применения.

Примеры использования

Высчитаем синус 135⁰ с помощью формул из таблицы. Для этого разложим 135⁰ в виде суммы 90⁰ и 45⁰. Так как 90⁰ в радианах равен  π/2, значит, искать мы будем синус (π/2 + 45⁰). Берем формулу приведения sin (π/2 + a) = cos a и получаем, что синус 135⁰ = cos 45⁰ = √2/2.

Теперь высчитаем cos 240⁰. Чтобы применить формулу приведения, разложим его в виде суммы cos (180⁰+60⁰). Вспоминаем формулу cos (π + a) = - cos a и вставляем в нее наши значения угла, получается cos (180⁰+60⁰) = -cos 60⁰ = 1/2.

Мнемоническое правило

Мнемоникой называют набор различных приемов и правил, с помощью которых в мозге создаются устойчивые ассоциации. Они помогают запомнить большое количество информации при относительно небольших усилиях. Все помнят фразу «Иван родил девчонку, велел тащить пеленку», по первым буквам которой можно быстро вспомнить падежи русского языка. Это один из ярких примеров использования мнемонических правил. 

Осталось выяснить, как мнемоника может помочь с формулами приведения. Всего их 32 штуки. На первый взгляд, кажется, что запомнить их будет очень сложно. На самом деле это не совсем так. Используя мнемоническое правило, состоящее из трех пунктов, запомнить будет не так трудно. Для этого необходимо:

1. Для начала привести аргумент к нужному виду: (π +/- a), (π/2 +/- a), (3π/2  +/- a) или (2π +/-a). 
2. Следующим шагом будет выяснить знак функции в требуемой четверти. 
3. Если требуется, то нужно поменять функцию на кофункцию. При (180⁰+/- a) и (360⁰+/-a) смена не происходит, а при (90⁰+/-a) или (270⁰+/-a) – происходит.

Вот в принципе и весь метод. Пользуясь этим набором из трех пунктов, можно легко вычислять тригонометрические функции не запоминая формулы приведения наизусть.

Примеры использования

Вычислим tg 765⁰ с помощью мнемонического правила:

• Для этого приведем аргумент к нужному виду: (π +/- a), (π/2 +/- a), (3π/2  +/- a) или (2π +/-a). В нашем случае это будет tg (360⁰×2+45⁰) = tg (2π×2 +45⁰). Умножением на два можно пренебречь так как, двигаясь по окружности, точка окажется в том же самом месте, что и просто при 2π. Получаем tg (2π+45⁰).  
• Выясняем знак функции в требуемой четверти. Так как 2π + 45⁰ это первая четверть, значит значение тангенса в ней положительное. 
• При (180⁰+/- a) и (360⁰+/-a) смены функции не происходит. Значит, в ответе будет тангенс.

Получаем tg 765⁰ = tg 45⁰=1.

Аналогично этому вычислим cos 570⁰:

• Приводим аргумент к нужному виду. Получаем cos (3π/2× 2 +30⁰)= (270⁰×2+30⁰). Умножение на два игнорируем, остается cos (3π/2  +30⁰). 
• Косинус в четвертой четверти окружности имеет положительный знак.  
• При (90⁰+/-a) или (270⁰+/-a) происходит смена функции на кофункцию. В ответе будет синус.

Получаем cos 570⁰= 1/2.

Пользуясь мнемоническим правилом, состоящим всего из трех пунктов, можно с легкостью оперировать тридцатью двумя правилами из таблицы при решении различных задач в тригонометрии. Можно самостоятельно, опираясь на приведенные примеры использования мнемонического правила, придумать произвольные углы, записанные нестандартно, и вычислить их тригонометрические функции. После нескольких десятков выполнений этого упражнения в мозгу сформируются необходимые для запоминания нейронные связи. После этого надобность в запоминании таблицы наизусть отпадет сама собой.

Правило ладони

Правило ладони является одним из способов легко запомнить значения тригонометрических функций углов 0⁰,30⁰,45⁰,60⁰ и 90⁰. Для этого нужно вытянуть перед глазами ладонь левой руки ладонью к себе так, чтобы большой палец смотрел вверх, а мизинец вправо. При этом большой палец с мизинцем образуют подобие первой четверти декартовой системы координат. Ось OY представляет большой палец, а ось OX – мизинец. Каждый из пальцев будет образовывать определенный угол с осью OX. Мизинец – 0⁰, безымянный – 30⁰, средний – 45⁰, указательный – 60⁰, а большой – 90⁰.

Формула для вычисления значений синуса углов выглядит так: sin a = √n/2 . Теперь пронумеруем пальцы от нуля до четырех.

• Мизинец (0⁰) – 0
• Безымянный (30⁰) – 1
• Средний (45⁰) – 2
• Указательный (60⁰) – 3
• Большой (90⁰) – 4.

Подставив в нее соответствующее значение угла (a) и номера пальца (n) получим: синус 0⁰ = 0; 30⁰ = 1/2; 45⁰ = √2/2; 60⁰ = √3/2; 90⁰ = 1.

Чтобы вычислить косинусы этих углов, необходимо будет воспользоваться формулой cos a = √n/2  и пронумеровать пальцы в обратной последовательности.

• Мизинец (0⁰) – 4
• Безымянный (30⁰) – 3
• Средний (45⁰) – 2
• Указательный (60⁰) – 1
• Большой (90⁰) – 0

Подставляем соответствующие значения угла с номером пальца и получаем: cos 0⁰ = 1; cos 30⁰ = √3/2; cos 45⁰ = √2/2; cos 60⁰ = 1/2; cos 90⁰ = 0.

Как можно заметить правило ладони очень удобно когда, например, сидишь на экзамене, и под рукой нет никаких справочных материалов. Достаточно лишь запомнить одну формулу и, мысленно представив растопыренные пальцы, вставить в нее соответствующие значения угла и номера пальца. 

Лошадиное правило

Правило лошади является способом запоминания, когда функция меняется на кофункцию, а когда - нет, при тригонометрических вычислениях. Легенда гласит, что некогда существовал такой рассеянный математик, что в его голове не оставалось больше места для запоминания нового. К счастью, у математика была очень умная лошадь, которая помогала ему в вычислениях. Каждый раз, как перед ним вставал вопрос менять или нет функцию, он обращался к своей лошади. Если она кивала ему головой сверху вниз, он менял. Когда она вертела головой из стороны в сторону – не менял.

История очень проста, если представить себе единичную окружность с осями координат. Когда аргумент функции содержит  π/2 или 3π/2, мы имеем дело с осью y. Следовательно, лошадь кивает головой сверху вниз, и функция меняется на кофункцию. Но когда перед углом стоит π или 2π, мы имеем дело с осью x. В этом случае лошадь качает головой вдоль этой оси справа налево. Это означает, что ничего в данном случае не меняется.

Например, когда перед вами стоит задача вычисления синуса 225 градусов. Вы смотрите на нее и понимаете, что у вас нет в таблице значения для угла в 225⁰. При этом рядом стоит преподаватель, всем своим видом демонстрируя, что вы должны это знать. Вот тут вам и пригодятся формулы приведения, превратив неудобный аргумент 225⁰ в привычное значение из таблицы. 

Для этого нам потребуется единичная окружность с осями x и y. Давайте попробуем найти на этой единичной окружности ваше число 225⁰. Делается это довольно легко. Ноль градусов у нас будет справа, 90⁰ сверху, 180⁰ слева и 270⁰ снизу. Соответственно 225⁰ на окружности будет располагаться между 180⁰ и 270⁰. Раз 270 это 180+45, значит вместо синус 225⁰, мы можем записать sin (180⁰+45⁰). По сути, мы ничего не поменяли, число 225 как было, так и осталось. Мы просто записали его в виде суммы 180+45. Мы могли бы сделать иначе, написав sin (270⁰-450) вместо sin 225⁰. Получается, что наш угол 225⁰ получен либо как 180⁰+450, либо как 270⁰-450.

Теперь давайте представим себе лошадь того математика, ведь правило, которым мы воспользуемся дальше не зря зовется лошадиным. В зависимости от того, какой вариант мы выбрали (1800+450 или 2700-450), спрашиваем у лошади - поменяется ли при этом функция и ее знак?

• Если выбрали 180⁰+45⁰: так как 180⁰ на единичной окружности лежит на горизонтальной оси x, то лошадь начнет двигать головой из стороны в сторону, словно говоря нет. Следовательно, функция при этом не поменяется.  Теперь нужно определиться со знаком. Угол 225⁰ на единичной окружности лежит ниже оси x, значит относительно оси у, значение его синуса отрицательное. Это можно представить, как если бы на ответ поменяется ли знак у функции, лошадь начала бы смотреть вниз. При этом она начала бы кивать головой, словно говоря да. Получается, пользуясь формулой приведения sin (π + a) = - sin a , что sin 225⁰ = sin (180⁰ + 45⁰) = - sin 45⁰.
• Если выбрали 270⁰-450: так как 270⁰ на единичной окружности лежит на вертикальной оси y, то лошадь  начнет двигать головой вверх-вниз, словно говоря да. Значит, функция при этом поменяется на кофункцию. Пользуясь формулой приведения sin (3π/2 - a) = - cos a, получается, что sin 225⁰ = sin (270⁰-45⁰) = - cos 45⁰.

Как видно из примеров, знание подобных хитростей при тригонометрических вычислениях помогает сосредоточиться на конкретной задаче, игнорируя зубрежку. Хорошо если память натренированна и содержит в своих чертогах большой объем данных. Но бывает, что быстро извлечь требуемые знания удается с трудом. Особенно это актуально при выполнении заданий с ограничением по времени. В таких случаях, как и рассеянному математику из легенды, помощь «верного друга» приходится весьма кстати.

Формулы приведения доказательство

Докажем, что формулы приведения верны, убедившись в этом нескольких примерах. Нам понадобится вспомнить формулы сложения синуса и косинуса:

• sin(a+b)=sin a ×cos b + cos a ×sin b 
• sin(a-b)=sin a ×cos b - cos a ×sin b 
• cos(a+b)=cos a ×cos b - sin a ×sin b 
• cos(a-b)=cos a ×cos b + sin a ×sin b

Возьмем первую формулу из таблицы формул приведения sin (π/2+a) = cos a и докажем, что обе части выражения равны. Для этого подставим в левую часть формулу сложения синусов sin π/2× cos a + sin a × cos π/2 = cos a. Так как sin π/2 = 1, а cos π/2 = 0, получаем 1 ×cos a + sin a× 0 = cos a. Обе части формулы оказались равны, что и требовалось доказать. 

Теперь докажем одну из формул приведения с косинусом. Возьмем cos (π + a) = - cos a. Распишем левую часть с помощью формулы сложения косинусов cos π ×cos a - sin π ×sin a = - cos a. Так как cos π  = -1, а sin π  = 0, получим -1  ×cos a - 0  ×sin a = - cos a. Формула доказана, ведь -cos a = - cos a.

Помня о том, что тангенс это синус разделенный на косинус, а котангенс – косинус на синус, докажем формулу приведения tg (π - a) =  - tg a. Для этого воспользуемся все теми же формулами сложения тригонометрических функций 

Формула вновь доказана. С котангенсом производится аналогичное вычисление.

Мы доказали три из 32 формул, с синусом, косинусом и тангенсом (с котангенсом производится аналогичное вычисление). Остальные 29 доказываются по схожему принципу, с помощью замены левой части выражения на формулу сложения синусов или косинусов.

Как запомнить формулы приведения

Прежде всего, необходимо выяснить какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в различных четвертях окружности. Начнем с синуса, он в первой и второй четверти принимает положительные значения. Потому что все точки окружности в первой и второй четвертях имеют положительную координату по оси y. Соответственно в третьей и четвертой синус имеет отрицательные значения. Косинус положителен в первой и четвертой. Потому что все точки окружности имеют положительное значение на оси x. Во второй и третьей косинус будет иметь отрицательные значения. Тангенс и котангенс это деление синуса на косинус и наоборот. Поделив каждое значение синуса на косинус, и, наоборот, во всех четвертях, мы получим, что тангенс с котангенсом имеют положительные значения в первой и третьей четвертях, и отрицательное во второй и четвертой. 

Чтобы запомнить формулы приведения, нужно применить два правила:

1. Правило знака. Для начала мы определяем, в какой четверти находится угол. Какой знак имеет функция в этой четверти, такой знак и будет в ответе. 
2. Правило названия. Если в формуле стоит π или 2π, тогда функция свое название не меняет. Если стоит π/2 или 3π/2, то функция меняется на кофункцию. Синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. 

Так что ничего сложного в запоминании нет. Для этого достаточно пользоваться многочисленными правилами, которые легко запомнить. Это позволит без особого умственного напряжения решать сложные, на первый взгляд, тригонометрические задачи и успешно сдавать экзамены. При этом сэкономленное время можно потратить на изучение нового материала или для закрепления уже пройденного.